Simbologia di base

Per una scrittura più sintetica possono essere utilizzati alcuni simboli matematici.

• L’operatore logico booleano \(\land\) significa “e” (congiunzione forte) mentre il connettivo di disgiunzione \(\lor\) significa “o” (oppure) (congiunzione debole).

• Il quantificatore esistenziale \(\exists\) vuol dire “esiste almeno un” e indica l’esistenza di almeno una istanza del concetto/oggetto indicato. Il quantificatore esistenziale di unicità \(\exists!\) (“esiste soltanto un”) indica l’esistenza di esattamente una istanza del concetto/oggetto indicato. Il quantificatore esistenziale \(\nexists\) nega l’esistenza del concetto/oggetto indicato.

• Il quantificatore universale \(\forall\) vuol dire “per ogni.”

• L’implicazione logica “\(\Rightarrow\)” significa “implica” (se …allora). \(P \Rightarrow Q\) vuol dire che \(P\) è condizione sufficiente per la verità di \(Q\) e che \(Q\) è condizione necessaria per la verità di \(P\).

• L’equivalenza matematica “\(\iff\)” significa “se e solo se” e indica una condizione necessaria e sufficiente, o corrispondenza biunivoca.

• Il simbolo \(\vert\) si legge “tale che.”

• Il simbolo \(\triangleq\) (o \(:=\)) si legge “uguale per definizione.”

• Il simbolo \(\Delta\) indica la differenza fra due valori della variabile scritta a destra del simbolo.

• Il simbolo \(\propto\) si legge “proporzionale a.”

• Il simbolo \(\approx\) si legge “circa.”

• Il simbolo \(\in\) della teoria degli insiemi vuol dire “appartiene” e indica l’appartenenza di un elemento ad un insieme. Il simbolo \(\notin\) vuol dire “non appartiene.”

• Il simbolo \(\subseteq\) si legge “è un sottoinsieme di” (può coincidere con l’insieme stesso). Il simbolo \(\subset\) si legge “è un sottoinsieme proprio di.”

• Il simbolo \(\#\) indica la cardinalità di un insieme.

• Il simbolo \(\cap\) indica l’intersezione di due insiemi. Il simbolo \(\cup\) indica l’unione di due insiemi.

• Il simbolo \(\emptyset\) indica l’insieme vuoto o evento impossibile.

Numeri binari, interi, razionali, irrazionali e reali {-}

opinion <- c('Yes','No','Yes','No','Yes','No','Yes','Yes','Yes','Yes')
opinion
#>  [1] "Yes" "No"  "Yes" "No"  "Yes" "No"  "Yes" "Yes" "Yes" "Yes"

opinion <- opinion == "Yes"
opinion
#>  [1]  TRUE FALSE  TRUE FALSE  TRUE FALSE  TRUE  TRUE  TRUE  TRUE

sum(opinion) / length(opinion)
#> [1] 0.7

Intervalli

Un intervallo si dice chiuso se gli estremi sono compresi nell’intervallo, aperto se gli estremi non sono compresi. Le caratteristiche degli intervalli sono riportate nella tabella seguente.

Insiemi

Un insieme (o collezione, classe, gruppo, …) è un concetto primitivo, ovvero è un concetto che già possediamo. Georg Cantor l’ha definito nel modo seguente:

un insieme è una collezione di oggetti, determinati e distinti, della nostra percezione o del nostro pensiero, concepiti come un tutto unico; tali oggetti si dicono elementi dell’insieme.

Mentre non è rilevante la natura degli oggetti che costituiscono l’insieme, ciò che importa è distinguere se un dato oggetto appartenga o meno ad un insieme. Deve essere vera una delle due possibilità: il dato oggetto è un elemento dell’insieme considerato oppure non è elemento dell’insieme considerato. Due insiemi \(A\) e \(B\) si dicono uguali se sono formati dagli stessi elementi, anche se disposti in ordine diverso: \(A=B\). Due insiemi \(A\) e \(B\) si dicono diversi se non contengono gli stessi elementi: \(A \neq B\). Ad esempio, i seguenti insiemi sono uguali: \[\{1, 2, 3\} = \{3, 1, 2\} = \{1, 3, 2\}= \{1, 1, 1, 2, 3, 3, 3\}.\] Gli insiemi sono denotati da una lettera maiuscola, mentre le lettere minuscole, di solito, designano gli elementi di un insieme. Per esempio, un generico insieme \(A\) si indica con \[A = \{a_1, a_2, \dots, a_n\}, \quad \text{con~} n > 0.\]

La scrittura \(a \in A\) dice che \(a\) è un elemento di \(A\). Per dire che \(b\) non è un elemento di \(A\) si scrive \(b \notin A.\)

Per quegli insiemi i cui elementi soddisfano una certa proprietà che li caratterizza, tale proprietà può essere usata per descrivere più sinteticamente l’insieme: \[ A = \{x ~\vert~ \text{proprietà posseduta da~} x\}, \] che si legge come “\(A\) è l’insieme degli elementi \(x\) per cui è vera la proprietà indicata.” Per esempio, per indicare l’insieme \(A\) delle coppie di numeri reali \((x,y)\) che appartengono alla parabola \(y = x^2 + 1\) si può scrivere: \[ A = \{(x,y) ~\vert~ y = x^2 + 1\}. \] Dati due insiemi \(A\) e \(B\), diremo che \(A\) è un sottoinsieme di \(B\) se e solo se tutti gli elementi di \(A\) sono anche elementi di \(B\): \[A \subseteq B \iff (\forall x \in A \Rightarrow x \in B).\] Se esiste almeno un elemento di \(B\) che non appartiene ad \(A\) allora diremo che \(A\) è un sottoinsieme proprio di \(B\): \[ A \subset B \iff (A \subseteq B, \exists~ x \in B ~\vert~ x \notin A). \] Un altro insieme, detto insieme delle parti, o insieme potenza, che si associa all’insieme \(A\) è l’insieme di tutti i sottoinsiemi di \(A\), inclusi l’insieme vuoto e \(A\) stesso. Per esempio, per l’insieme \(A = \{a, b, c\}\), l’insieme delle parti è: \[ \mathcal{P}(A) = \{ \emptyset, \{a\}, \{b\}, \{c\}, \{a, b\}, \{a, c\}, \{c, b\}, \{a, b, c\} \}. \]

Diagrammi di Eulero-Venn

In molte situazioni è utile servirsi dei cosiddetti diagrammi di Eulero-Venn per rappresentare gli insiemi e verificare le proprietà delle operazioni tra insiemi (si veda la figura 30.5. I diagrammi di Venn sono così nominati in onore del matematico inglese del diciannovesimo secolo John Venn anche se Leibnitz e Eulero avevano già in precedenza utilizzato rappresentazioni simili. In tale rappresentazione, gli insiemi sono individuati da regioni del piano delimitate da una curva chiusa. Nel caso di insiemi finiti, è possibile evidenziare esplicitamente alcuni elementi di un insieme mediante punti, quando si possono anche evidenziare tutti gli elementi degli insiemi considerati.

Figura 30.5: In tutte le figure \(S\) è la regione delimitata dal rettangolo, \(L\) è la regione all’interno del cerchio di sinistra e \(R\) è la regione all’interno del cerchio di destra. La regione evidenziata mostra l’insieme indicato sotto ciascuna figura.

I diagrammi di Eulero-Venn che forniscono una dimostrazione delle leggi di DeMorgan sono forniti nella figura 30.6.

Figura 30.6: Dimostrazione delle leggi di DeMorgan.

Proprietà degli stimatori dei minimi quadrati

Il coefficiente dei minimi quadrati \(b\) è una combinazione lineare delle osservazioni \(y_i\). Tale proprietà è importante perché consente di derivare la distribuzione di \(b\) dalla distribuzione delle \(y_i\). Può essere dimostrato che la formula per il calcolo di \(b\) si può scrivere nel modo seguente: \[\begin{aligned} b &= \sum_i \left[\frac{x_i-\bar{x}}{\sum_j(x_j-\bar{x})^2}\right]y_i = \textstyle\sum m_i y_i,\end{aligned}\] dove \(m_i \triangleq (x_i-\bar{x}) / \sum (x_j-\bar{x})^2\) è il peso associato a ciascun valore \(y_i\). Dato che i valori \(x_i\) sono fissi e \(m_i\) dipende solo da \(x_i\), anche i pesi \(m_i\) sono fissi.

Il valore atteso di \(b\) è uguale a \[\begin{aligned} E(b) &= \textstyle\sum m_i E(y_i)\notag\\ &= \textstyle\sum m_i (\alpha + \beta x_i)\notag\\ &= \textstyle\alpha\sum m_i + \beta \sum m_i x_i\notag\\ &= \frac{\alpha \sum(x_i-\bar{x})}{\sum(x_i-\bar{x})^2} + \beta \frac{\sum(x_i-\bar{x})x_i}{\sum(x_i-\bar{x})^2}\notag\\ &= 0 + \beta \frac{\sum x_i^2 -\bar{x}\sum x_i}{\sum(x_i-\bar{x})^2}\notag\\ &= \beta \frac{\sum x_i^2 - n\bar{x}^2}{\sum(x_i-\bar{x})^2}\notag\\ &= \beta.\end{aligned}\] Il coefficiente dei minimi quadrati \(b\) è dunque uno stimatore corretto di \(\beta\). In maniera equivalente si può dimostrare che \(E(a) = \alpha\).

Sotto le ipotesi di omoschedasticità \(\big[ \var(y_i) = \var(\varepsilon_i)=\sigma^2_{\varepsilon}\big]\) e indipendenza, la varianza di \(b\) è \[\begin{aligned} \var(b) &= \textstyle\var\big(\sum m_i y_i\big)\notag\\ &= \textstyle\mathop{\sum m_i^2} \var(y_i)\notag\\ &= \textstyle\mathop{\sum m_i^2} \sigma^2_{\varepsilon}\notag\\ &= \frac{\mathop{\sigma^2_{\varepsilon}} \textstyle\sum(x_i-\bar{x})^2}{\big[\textstyle\sum(x_i-\bar{x})^2\big]^2}\notag\\ &= \frac{\sigma^2_{\varepsilon}}{\sum(x_i-\bar{x})^2}.\end{aligned}\] In maniera simile si dimostra che la varianza di \(a\) è \[\var(a)= \frac{\sigma^2_{\varepsilon} \textstyle\sum x_i^2}{n \textstyle\sum (x_i-\bar{x})^2}.\]

Dato che sia \(a\) che \(b\) sono funzioni lineari di \(y_i\), se i valori \(y_i\) seguono la distribuzione gaussiana, allora anche \(a\) e \(b\) saranno distribuiti secondo una distribuzione normale. In conclusione, \[ \begin{aligned} b &\sim \mathcal{N}\bigg(\beta, \frac{\sigma^2_{\varepsilon}}{\sum(x_i-\bar{x})^2}\bigg),\\ a &\sim \mathcal{N}\bigg(\alpha, \frac{\sigma^2_{\varepsilon}\textstyle\sum x_i^2}{n \textstyle\sum (x_i-\bar{x})^2} \bigg). \end{aligned} \]