Capitolo 17 La distribuzione binomiale
Un esperimento casuale che può dare luogo a solo due possibili esiti (successo, insuccesso) è modellabile con una variabile aleatoria di Bernoulli. Una sequenza di prove di Bernoulli costituisce un processo Bernoulliano. Il numero di successi dopo \(N\) prove di Bernoulli è dato da una variabile aleatoria che segue la legge Binomiale. La distribuzione Binomiale è una delle più importanti distribuzioni di probabilità discrete.
17.1 Una prova Bernoulliana
Se un esperimento casuale ha solo due esiti possibili, allora le repliche indipendenti di questo esperimento sono chiamate “prove Bernoulliane” (il lancio di una moneta è il tipico esempio). Viene detta variabile di Bernoulli una variabile aleatoria discreta \(X = \{0, 1\}\) con la seguente distribuzione di probabilità: \[f(X; p) = \begin{cases} p & \text{se $X = 1$}, \\ 1 - p & \text{se $X = 0$}, \end{cases}\] con \(0 \leq p \leq 1\). Convenzionalmente l’evento \(\{X = 1\}\) con probabilità \(p\) viene chiamato “successo” mentre l’evento \(\{X = 0\}\) con probabilità \(1-p\) viene chiamato “fallimento.” Applicando l’operatore di valore atteso e di varianza, otteniamo \[ \begin{aligned} \mathbb{E}(X) &= 0 \cdot P(X=0) + 1 \cdot P(X=1) = p,\\ var(X) &= (0 - p)^2 \cdot P(X=0) + (1 - p)^2 \cdot P(X=1) = p(1-p). \end{aligned} \] Scriviamo \(X \sim \text{Bern}(p)\) per indicare che la variabile aleatoria \(X\) ha una distribuzione Bernoulliana di parametro \(p\).
Nel caso del lancio di una moneta onesta, i valori della variabile aleatoria Bernoulliana sono \(0\) e \(1\). La distribuzione di massa di probabilità è pari a \(\frac{1}{2}\) in corrispondenza di entrambi i valori. La funzione di distribuzione vale \(\frac{1}{2}\) per \(X = 0\) e \(1\) per \(X = 1\).
17.2 Una sequenza di prove Bernoulliane
La distribuzione Binomiale è rappresentata dall’elenco di tutti i possibili numeri di successi \(X = \{0, 1, 2, \dots n\}\) che possono essere osservati in \(n\) prove Bernoulliane indipendenti di probabilità \(p\), a ciascuno dei quali è associata la relativa probabilità. Esempi di una distribuzione Binomiale sono i risultati di una serie di lanci di una stessa moneta o di una serie di estrazioni da un’urna (con reintroduzione). La distribuzione Binomiale di parametri \(n\) e \(p\) è in realtà una famiglia di distribuzioni: al variare dei parametri \(p\) e \(n\) variano le probabilità.
La probabilità di ottenere \(k\) successi e \(n-k\) fallimenti in \(n\) prove Bernoulliane è data dalla formula di Bernoulli: \[ \begin{aligned} P(X=k) &= \binom{n}{k} p^{k} (1-p)^{n-k} \notag \\ &= \frac{n!}{k!(n-k)!} p^{k} (1-p)^{n-k}, \label{eq:binomial_distribution} \end{aligned} \] dove \(n\) = numero di prove Bernoulliane, \(p\) = probabilità di successo in ciascuna prova e \(k\) = numero di successi.
Dimostrazione. Proof. Indichiamo con \(S\) il successo e con \(F\) il fallimento di ciascuna prova. Una sequenza di \(n\) prove Bernoulliane darà come esito una sequenza di \(n\) fra \(S\) e \(F\). Ad esempio, una sequenza che contiene \(k\) successi è la seguente: \[\overbrace{SS\dots S}^\text{$k$ volte} \overbrace{FF\dots F}^\text{$n-k$ volte}\] Essendo \(p\) la probabilità di \(S\) e \(q = 1-p\) la probabilità di \(F\), la probabilità di ottenere la specifica sequenza riportata sopra è \[\overbrace{pp\dots p}^\text{$k$ volte} \overbrace{qq\dots q}^\text{$n-k$ volte} = p^k \cdot q^{n-k}.\] È immediato notare che una qualsiasi altra sequenza contenente esattamente \(k\) successi avrà sempre come probabilità \(p^k \cdot q^{n-k}\): il prodotto infatti resta costante anche se cambia l’ordine dei fattori.
Dobbiamo ora chiederci come si possa determinare il numero di sequenze che contengono esattamente \(k\) successi in \(n\) prove. La risposta a tale domanda ci viene fornita dal coefficiente Binomiale \[\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}.\]
Perché il coefficiente Binomiale è la risposta alla domanda che ci siamo posti? Per capire perché, facciamo riferimento al triangolo di Tartaglia (1499-1557), detto anche triangolo di Pascal. Il triangolo di Tartaglia è una tabella a forma di triangolo composta da numeri naturali. Le prime cinque righe del triangolo di Tartaglia sono riportate qui sotto:
| \(n=0\) | 1 | ||||||||||||
| \(n=1\) | 1 | 1 | |||||||||||
| \(n=2\) | 1 | 2 | 1 | ||||||||||
| \(n=3\) | 1 | 3 | 3 | 1 | |||||||||
| \(n=4\) | 1 | 4 | 6 | 4 | 1 |
Vediamo come si costruisce il triangolo di Tartaglia. Consideriamo una sequenza di quattro lanci di una moneta. Il primo lancio può produrre zero successi (esito “croce,” 0) o un successo (esito “testa,” 1), come indicato qui sotto nella riga indicizzata con \(n = 1\).
Come indicato nella riga \(n = 2\), in due lanci possiamo ottenere 0 (ovvero, croce nel primo lancio e croce nel secondo lancio, \(\{00\}\)), 1 (ovvero, croce nel primo lancio e testa nel secondo lancio, oppure testa nel primo lancio e croce nel secondo lancio \(\{01, 10\}\) – si noti che un successo in due lanci si può ottenere in due modi diversi) – oppure 2 successi (ovvero, testa nel primo lancio e testa nel secondo lancio, \(\{11\}\)). La riga \(n = 3\) riporta il numero di sequenze che producono 0, 1, 2 e 3 successi in tre lanci; e così via. Ciò che è importante notare è che ogni numero del triangolo di Tartaglia è un particolare coefficiente binomiale.
Possiamo dunque concludere che il coefficiente binomiale fornisce la risposta alla domanda: “in quanti modi diversi si possono ottenere \(k\) successi in una sequenza di \(n\) prove Bernoulliane?” Se ora combiniamo i due risultati che abbiamo descritto sopra (ovvero, “come si calcola la probabilità di una specifica sequenza di teste e croci?” e “in quanti modi diversi si possono ottenere \(k\) successi in \(n\) prove?”), giungiamo alla formula della distributione binomiale.
Esempio. Utilizzando l’equazione della distributione binomiale., troviamo la probabilità di \(k=2\) successi in \(n=4\) prove con \(p=0.2\): \[ \begin{aligned} P(X=2) &= \frac{4!}{2!(4-2)!} 0.2^{2} (1-0.2)^{4-2} \notag \\ &= \frac{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{(2 \cdot 1)(2 \cdot 1)} 0.2^{2} 0.8^{2} = 0.1536. \notag \end{aligned} \] Ripetendo i calcoli per i valori \(k = 0, \dots, 4\) otteniamo:
| k | P(X=k) |
|---|---|
| 0 | 0.4096 |
| 1 | 0.4096 |
| 2 | 0.1536 |
| 3 | 0.0256 |
| 4 | 0.0016 |
| sum | 1.0 |
Lo stesso risultato si ottiene utilizzando
dbinom(0:4, 4, 0.2)
#> [1] 0.4096 0.4096 0.1536 0.0256 0.0016Esempio. Lanciando \(5\) volte una moneta onesta, qual è la probabilità che esca testa almeno tre volte?
Usando dbinom(3, 5, 0.5) + dbinom(4, 5, 0.5) + dbinom(5, 5, 0.5)
otteniamo 0.5. Alternativamente, possiamo trovare la probabilità
dell’evento complementare a quello definito dalla funzione di
ripartizione calcolata mediante pbinom(), ovvero
1 - pbinom(2, 5, 0.5) = 0.5.
17.3 Media e deviazione standard della distribuzione Binomiale
La media (numero atteso di successi in \(n\) prove) e la deviazione standard di una distribuzione Binomiale sono molto semplici: \[ \begin{aligned} \mu &= np, \notag \\ \sigma &= \sqrt{np(1-p)}.\notag \end{aligned} \]
Dimostrazione. Proof. Essendo \(X\) la somma di \(n\) prove Bernoulliane indipendenti \(X_i\), è facile vedere che \[ \begin{aligned} \mathbb{E}(X) &= \Ev \left( \sum_{i=1}^n X_i \right) = \sum_{i=1}^n \Ev(X_i) = np, \\ var(X) &= \var \left( \sum_{i=1}^n X_i \right) = \sum_{i=1}^n \var(X_i) = n p (1-p). \end{aligned} \]
Esempio. Si trovi il valore atteso e la varianza del lancio di quattro monete con probabilità di successo pari a \(p=0.2\).
Il valore atteso è \(\mu = np = 4 \cdot 0.2 = 0.8.\) Ciò significa che, se l’esperimento aleatorio venisse ripetuto infinite volte allora l’esito testa verrebbe osservato un numero medio di volte pari a \(0.8\). La varianza è \(n p (1-p) = 4 \cdot(1 - 0.2) = 0.8\). L’eguaglianza di \(\mu\) e \(\sigma\) è solo una peculiarità di questo esempio.
Conclusioni
Una variabile aleatoria bernoulliana è la più semplice delle variabili aleatorie. Di conseguenza, la distribuzione binomiale è la più semplice delle distribuzioni di massa di probabilità. Per questa ragione la distribuzione binomiale viene discussa prima di presentare casi più complessi, perché ci fornisce un esempio paradigmatico del tipo di problemi che richiedono, per essere risolti, procedure matematicamente più complesse in situazioni diverse. L’aspetto matematico, tuttavia, è secondario per i nostri scopi. In tutti i casi, è più semplice usare un software per svolgere i calcoli, piuttosto che fare una lunga serie di somme utilizzando le Tavole delle funzioni di ripartizione di varie distribuzioni di probabilità. Ciò che è cruciale è capire il significato dei concetti e come si può utilizzare un software per eseguire i calcoli. Nel caso presente, i calcoli sono molto semplici e si possono anche eseguire a mano. In seguito vedremo che l’uso di un software sarà sempre richiesto.