16.1 Funzione di probabilità congiunta

Dopo aver trattato delle distribuzioni di probabilità di una variabile aleatoria, che associa ad ogni evento elementare dello spazio campionario uno ed un solo numero reale, è naturale estendere questo concetto al caso di due o più dimensioni. Iniziamo a descrivere il caso discreto con un esempio. Consideriamo qui l’esperimento casuale corrispondente al lancio di tre monete equilibrate. Lo spazio campionario di tale esperimento casuale è \[\Omega = \{TTT, TTC, TCT, CTT, CCT, CTC, TCC, CCC\}.\] Dato che i tre lanci sono tra loro indipendenti, non c’è ragione di aspettarsi che uno degli otto risultati possibili dell’esperimento sia più probabile degli altri, dunque possiamo associare a ciascuno degli otto eventi elementari dello spazio campionario la stessa probabilità, ovvero 1/8.

Su tale spazio campionario consideriamo le variabili aleatorie \(X \in \{0, 1, 2, 3\}\), che conta il numero delle teste nei tre lanci, e \(Y \in \{0, 1\}\), che conta il numero delle teste al primo lancio. Indicando con T = ‘testa’ e C = ‘croce,’ si ottiene dunque la situazione riportata nella tabella successiva.

Ci poniamo il problema di associare un livello di probabilità ad ogni coppia \((x, y)\) definita su \(\Omega\). La coppia \((X = 0, Y = 0)\) si realizza in corrispondenza di un solo evento elementare, ovvero CCC; avrà dunque una probabilità pari a \(Pr(X=0, Y=0) = Pr(CCC) = 1/8\). Nel caso della coppia \((X = 1, Y = 0)\) ci sono due eventi elementari che danno luogo al risultato considerato, ovvero, CCT e CTC; la probabilità \(Pr(X=1, Y=0)\) sarà dunque data dall’unione delle probabilità dei due eventi elementari corrispondenti, cioé \(Pr(X=1, Y=0) = Pr(CCT \:\cup\: CTC) = 1/8 + 1/8 = 1/4\). Riportiamo qui sotto i calcoli svolti per tutti i possibili valori di \(X\) e \(Y\). \[ \begin{aligned} P(X = 0, Y = 0) &= P(\omega_8 = CCC) = 1/8; \notag\\ P(X = 1, Y = 0) &= P(\omega_5 = CCT) + P(\omega_6 = CTC) = 2/8; \notag\\ P(X = 1, Y = 1) &= P(\omega_7 = TCC) = 1/8; \notag\\ P(X = 2, Y = 0) &= P(\omega_4 = CTT) = 1/8; \notag\\ P(X = 2, Y = 1) &= P(\omega_3 = TCT) + P(\omega_2 = TTC) = 2/8; \notag\\ P(X = 3, Y = 1) &= P(\omega_1 = TTT) = 1/8; \notag \end{aligned} \]

Le probabilità così trovate possono essere riportate nella tabella seguente.

La tabella qui sopra ci fornisce il risultato che cercavamo, ovvero la distribuzione di probabilità congiunta delle variabili aleatorie \(X\) = “numero di realizzazioni con il risultato testa nei tre lanci” e \(Y\) = “numero di realizzazioni con il risultato testa nel primo lancio” per l’esperimento casuale considerato. Una generica funzione di probabilità congiunta bivariata può essere rappresentata come qui indicato.

In generale, possiamo dire che, dato uno spazio campionario discreto \(\Omega\), è possibile associare ad ogni evento elementare \(\omega_i\) dello spazio campionario una coppia di numeri reali \((x, y)\), essendo \(x = X(\omega)\) e \(y = Y(\omega)\), il che ci conduce alla seguente definizione.

La funzione che associa ad ogni coppia \((x, y)\) un livello di probabilità prende il nome di funzione di probabilità congiunta: \[P(x, y) = P(X = x, Y = y).\] Il termine “congiunta” deriva dal fatto che questa probabilità è legata al verificarsi di una coppia di valori, il primo associato alla variabile aleatoria \(X\) ed il secondo alla variabile aleatoria \(Y\). Nel caso di due sole variabili, si parla di distribuzione bivariata, mentre nel caso di più variabili si parla di distribuzione multivariata.

16.2 Indipendenza stocastica

Ora abbiamo tutti gli strumenti per dare una precisa definizione statistica al concetto di indipendenza. La definizione proposta sarà necessariamente coerente con la definizione di indipendenza che abbiamo usato fino ad ora. Ma, espressa in questi nuovi termini, potrà essere utilizzata in indagini probabilistiche e statistiche più complesse. Ricordiamo che gli eventi \(A\) e \(B\) si dicono indipendenti se \(P (A \cap B)\, = P(A) P(B)\). Diciamo quindi che \(X\) e \(Y\) sono indipendenti se qualsiasi evento definito da \(X\) è indipendente da qualsiasi evento definito da \(Y\). La definizione formale che garantisce che ciò accada è la seguente.

Le variabili aleatorie \(X\) e \(Y\) sono indipendenti se la loro distribuzione congiunta è il prodotto delle rispettive distribuzioni marginali: \[ P(X, Y)\, = P_X(x)P_Y(y). \]

Nel caso discreto, dunque, l’indipendenza implica che la probabilità riportata in ciascuna cella della tabella di probabilità congiunta deve essere uguale al prodotto delle probabilità marginali di riga e di colonna: \[p(x_i, y_i)\, = p_X(x_i) p_Y(y_i).\notag\]

Esercizio. Per la situazione rappresentata nella tabella qui sopra le variabili aleatorie \(X\) e \(Y\) sono indipendenti?

Soluzione. Nella tabella le variabili aleatorie \(X\) e \(Y\) non sono indipendenti: le probabilità congiunte non sono ricavabili dal prodotto delle marginali. Per esempio, nessuna delle probabilità marginali è uguale a \(0\) per cui nessuno dei valori dentro la tabella (probabilità congiunte) che risulta essere uguale a \(0\) può essere il prodotto delle probabilità marginali.