13.1 Probabilità nel linguaggio naturale

In un articolo pubblicato su Harward Business Review nel 2018, Mauboussin e Mauboussin ci ricordano come, nel marzo del 1951, l’Office of National Estimates della CIA pubblicò un documento che suggeriva che un attacco sovietico alla Jugoslavia nel corso dell’anno fosse una “seria possibilità.” Sherman Kent, un professore di storia a Yale che fu chiamato a Washington, D.C. per dirigere l’Office of National Estimates, espresse perplessità sull’esatto significato dell’espressione “seria possibilità.” Lo interpretò nel senso che la probabilità di un attacco era di circa il 65%. Ma quando chiese ai membri del Board of National Estimates cosa ne pensassero, gli furono riferite cifre che andavano dal 20% all’80%. Una gamma così ampia rappresentava chiaramente un problema, poiché le implicazioni politiche di quegli estremi erano nettamente diverse. Kent riconobbe che la soluzione di tale problema era quella di usare i numeri per esprimere il nostro grado di certezza, notando mestamente:

Non abbiamo usato i numeri… e sembra chiaro che abbiamo abusando delle parole.

Da allora non è cambiato molto. Ancora oggi le persone nel mondo della politica, degli affari e nella vita quotidiana continuano a usare parole vaghe per descrivere i possibili risultati degli eventi. Perché? Phil Tetlock, professore di psicologia all’Università della Pennsylvania, che ha studiato a fondo il fenomeno psicologico della previsione, suggerisce che “una vaga verbosità conferisce sicurezza.” Quando usiamo una parola per descrivere la probabilità di un evento incerto, cerchiamo di porci nelle condizioni di non essere smentiti dopo che il risultato dell’evento verrà rivelato. Se si verifica l’evento che abbiamo previsto, è facile dire: “Ti avevo detto che probabilmente sarebbe successo questo.” Se la nostra predizione fallisce, possiamo sempre dire: “Ho solo detto che probabilmente sarebbe successo.” Parole così ambigue non solo consentono all’oratore di evitare di essere smentito, ma consentono anche al destinatario di interpretare il messaggio in modo coerente con le sue nozioni preconcette. Ovviamente, da tale ambiguità linguistica deriva una cattiva comunicazione. È dunque necessario procedere in modo diverso nel linguaggio scientifico. Vedremo in questo capitolo come sia possibile assegnare al termine “probabilità” un significato preciso.

13.2 Probabilità nel linguaggio scientifico

La teoria della probabilità nasce nel 1654. Fu infatti in questa data che Antoine Gombaud Cavalier De Méré, un nobile francese, nonché accanito giocatore d’azzardo scrisse una lettera al suo amico Pascal per cercare di comprendere il motivo delle sue continue perdite nel gioco dei dadi. De Méré descrisse due diverse scommesse:

scommessa A

si lancia un dado per 4 volte di seguito e si vince se esce almeno una volta il 6;

scommessa B

si lanciano due dadi per 24 volte di seguito e si vince se esce almeno una volta il doppio 6.

Il cavaliere De Méré pose a Pascal il seguente quesito: le possibilità di vittoria sono maggiori nella scommessa A o nella scommessa B? Il problema di De Méré divenne un motivo di scambio epistolare tra Pascal e Fermat, i due più grandi matematici del tempo, e viene considerato come la motivazione iniziale dello sviluppo della teoria della probabilità.

Ma come può essere risolto il problema di De Méré? Una strategia possibile è quella di seguire l’esempio di De Méré, ovvero, giocare questo gioco molte volte. Così facendo, De Méré si rese conto che le possibilità di vittoria erano leggermente migliori nel caso della scommessa A.

Utilizzando una simulazione al computer possiamo facilmente giungere a questa stessa conclusione senza perdere tutto il tempo che De Méré ha dedicato a questa materia. Una simulazione al computer ci consente infatti di ripetere il gioco di De Méré moltissime volte e di annotare il risultato ottenuto ad ogni ripetizione del gioco. Vedremo in seguito perché, utilizzando un computer, è possibile ottenere un risultato diverso ogni volta che si ripete una certa operazione, in modo tale da rappresentare il grado di casualità che si osserva quando si lancia di un dado. Per ora ci limitiamo ad esaminare i risultati che vengono prodotti in questo modo e che sono illustrati nella figura 13.1.

# Game A: Throw a fair die at most four times, and win if you get a six.
experiment_a <- function(){
  rolls <- sample(1:6, size = 4, replace = TRUE)
  condition <- sum(rolls == 6) > 0
  return(condition)
}

# Game B: Throw two fair dice at most twenty-four times, and win if you get a double-six.
experiment_b <- function(){
  first.die <- sample(1:6, size = 24, replace = TRUE)
  second.die <- sample(1:6, size = 24, replace = TRUE)
  condition <- sum((first.die == second.die) & (first.die == 6)) > 0
  return(condition)
}

# number of replications
nrep <- 1e4
# Play game A nrep times. We get a vector of nrep elements. Eeach element of 
# of the simsA vector is the outcome obtained by playing game A once: TRUE if
# the output is a win, FALSE if the output of the game is a loss. Remember than
# TRUE = 1 and FALSE = 0.
sims_a <- replicate(nrep, experiment_a())
# The proportion of wins in game A 
prop_wins_a <- sum(sims_a)/length(sims_a)
prop_wins_a
#> [1] 0.5193
# To plot the results, we compute the 
nwins_a <- cumsum(sims_a)
ntrials <- 1:nrep

sims_b <- replicate(nrep, experiment_b())
prop_wins_b <- sum(sims_b)/length(sims_b) 
prop_wins_b
#> [1] 0.493

nwins_b <- cumsum(sims_b)

d <- data.frame(
  n = c(ntrials, ntrials), 
  pwin = c(nwins_a/ntrials, nwins_b/ntrials),
  game = rep(c("Scommessa A", "Scommessa B"), each = nrep)
)

d %>% 
  ggplot(
    aes(x = n, y = pwin, col = game)
  ) +
  geom_point(alpha = 0.4) +
  geom_line() +
  scale_x_log10(breaks = c(1, 3, 10, 50, 200, 1000, 3000,  10000)) +
  theme(legend.title = element_blank()) +
  labs(
    x="Numero di ripetizioni del gioco di De Méré", 
    y="Proporzione di vincite") +
  scale_color_manual(values = c("gray80", "skyblue")) +
  theme(legend.position = "bottom")

Figura 13.1: Risultati ottenuti da 10000 ripetizioni delle due scommesse di De Méré.

La figura 13.1 riportata la proporzione di vittorie in funzione del numero di ripetizioni di ciascuna scommessa e rivela che, a lungo termine (ovvero, se consideriamo un grande numero di ripetizioni del gioco di De Méré), la scommessa A risulta più conveniente della scommessa B. Nel caso di 10000 ripetizioni del gioco di De Méré, la proporzione di vittorie è risultata essere pari a 0.5182 per la scommessa A e pari a 0.4909 per la scommessa B. Se ripetiamo la stessa simulazione altre 10000 volte, otteniamo una proporzione di vittorie uguale a 0.5180 per la scommessa A e a 0.4878 per la scommessa B.

Vedremo in questo capitolo come ciascuna di queste proporzioni possa essere considerata come una stima empirica di ciò che chiamiamo probabilità. Le proporzioni descritte sopra vengono sono delle “stime” poiché approssimano il vero valore della probabilità; infatti, ripetendo la simulazione due volte abbiamo ottenuto dei risultati leggermente diversi. Ma allora qual è il “vero” valore della probabilità? Un modo semplice per rispondere a questa domanda è quello di dire che, utilizzando la procedura descritta sopra, il vero valore della probabilità si otterrebbe se il gioco di De Méré venisse ripetuto infinite volte. Ma ovviamente, per qualunque applicazione concreta, non abbiamo bisogno di ripetere la simulazione infinite volte, in quanto un grande numero di ripetizioni ci fornisce un’approssimazione sufficiente.

In conclusione, le considerazioni precedenti ci fanno capire che il concetto di probabilità sia legato a quello di incertezza. La probabilità può infatti essere definita come la quantificazione del livello di “casualità” di un evento, laddove viene detto casuale ciò che non è noto o non può essere predetto con certezza.

13.3 Terminologia

Come qualsiasi altra branca della matematica, la teoria delle probabilità fa uso di una specifica terminologia i cui concetti di base sono descritti di seguito.

• Il calcolo delle probabilità si occupa di un generico esperimento casuale. Si dice esperimento casuale qualsiasi attività che produce un risultato osservabile. L’esecuzione di un esperimento casuale è chiamata prova dell’esperimento. Esempi sono: lanciare una moneta, lanciare un dado a 6 facce, provare un nuovo percorso per andare al lavoro per vedere se è più veloce di quello che usiamo di solito, o giocare al gioco di De Méré.
• Il risultato (o esito) di una prova si indica con \(\omega\) ed è detto evento elementare.
• Prima che l’esperimento casuale venga eseguito non sappiamo quale esito verrà prodotto; dopo che l’esperimento casuale è stato eseguito, l’esito dell’esperimento si “cristallizza” nel risultato osservato.
• Si dice spazio campionario \(\Omega\) (probability space) l’insieme di tutti i possibili esiti di un esperimento casuale. Lo spazio campionario può essere finito, infinito o infinito numerabile. Eseguire un esperimento casuale significa scegliere in maniera casuale uno dei possibili eventi elementari dello spazio campionario.
• Si dice evento composto (o non-elementare) un sottoinsieme dello spazio campionario, ovvero un insieme che può essere a sua volta scomposto in più eventi elementari. Per esempio, il numero 4 è un evento elementare dello spazio campionario finito \(\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\) che corrisponde all’esperimento casuale del lancio di un dado. L’evento composto \(A\) “il risultato è pari” è \(A = \{2, 4, 6\}\).

13.4 Le diverse definizioni della probabilità

Ma, nello specifico, che cos’è la probabilità? A questa domanda si può rispondere in modi diversi.

13.5 Assegnare le probabilità agli eventi

È importante capire che l’approccio assiomatico non ci dice però come sia possibile assegnare un valore di probabilità a un evento \(E \in \Omega\). A questo proposito esistono due diverse scuole di pensiero.

n <- 1e5
x <- sample(1:6, n, replace = TRUE)
x_01 <- ifelse(x == 3, 1, 0)
mean(x_01)
#> [1] 0.1676

13.6 Proprietà elementari della probabilità

Indipendentemente da come decidiamo di interpretare la probabilità (in termini frequentisti o Bayesiani), alla probabilità possono essere assegnate le seguenti proprietà.

1. La probabilità dell’evento impossibile è zero: \[P(\emptyset) = 1 - P(\Omega) = 0.\]

2. Se consideriamo due eventi \(A\) e \(B\) tali che \(A \subseteq B\), cioè che \(A\) è contenuto o coincidente con \(B\), da ciò segue che \[P(A) \leq P(B).\]

3. Se \(A^c\) è il complementare dell’evento \(A\), allora \[P(A^c) = 1 - P(A).\]

4. Dati \(n\) eventi \(A_i\) per \(i= 1, \cdots, n\), gli eventi si dicono indipendenti se risulta \[P(A_i \cap A_j \cap \cdots \cap A_k) = P(A_i) P(A_j) \cdots P(A_k).\]

5. Se due eventi \(A\) e \(B\) non sono disgiunti, allora quando sommiamo le loro probabilità dobbiamo evitare che la loro parte comune \(A \cap B\) venga contata due volte. Dati due eventi non necessariamente disgiunti, dunque, la probabilità dell’unione è pari alla somma delle singole probabilità dei due eventi meno la probabilità dell’intersezione: \[\begin{equation} P(A \text{ o } B) = P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B). \tag{13.1} \end{equation}\]

13.7 Variabili aleatorie

Tutte le nozioni che abbiamo discusso in precedenza sono necessarie per potere definire il concetto di “variabile aleatoria.” Le variabili aleatorie sono un concetto fondamentale della teoria statistica e delle sue applicazioni. Infatti, le variabili aleatorie sono lo strumento che usiamo per valutare, per esempio, l’efficacia di un intervento psicologico. Un intervento psicologico, infatti, può essere concepito come un “esperimento casuale” e le variabili aleatorie ci consentono di riassumere i risultati di un esperimento casuale e di quantificare il grado di certezza che possiamo assegnare all’esito osservato, nel contesto di tutti gli esiti possibili che, in linea di principio, sarebbe stato possibile osservare. Il significato di “variabile aleatoria” è semplice; meno semplice è capire come manipolare le variabili aleatorie. Ma iniziamo con una definizione.

Il dominio della variabile aleatoria \(X\) (che è una funzione) è dato dai punti dello spazio campionario \(\Omega\). Ad ogni evento elementare \(\omega_i\) attribuiamo il numero \(X(\omega_i)\), ovvero il valore che la variabile aleatoria assume sul risultato \(\omega_i\) dell’esperimento casuale. L’attributo “aleatoria” si riferisce al fatto che la variabile considerata trae origine da un esperimento casuale di cui non siamo in grado di prevedere l’esito con certezza.

Mediante una variabile aleatoria trasformiamo lo spazio campionario \(\Omega\), che in genere è complesso, in uno spazio campionario più semplice formato da un insieme di numeri. Il maggior vantaggio di questa sostituzione è che molte variabili aleatorie, definite su spazi campionari anche molto diversi tra loro, danno luogo ad una stessa “distribuzione” di probabilità sull’asse reale. Le variabili aleatorie si indicano con le lettere maiuscole ed i valori da esse assunti con le lettere minuscole.

Ci sono due classi di variabili aleatorie: variabili aleatorie discrete e variabili aleatorie continue. Consideriamo innanzitutto il caso delle variabili aleatorie discrete.

Se \(X\) è una variabile aleatoria discreta allora l’insieme dei possibili valori \(x\), tali per cui \(P(X = x) > 0\), viene detto “supporto” di \(X\).

Alcuni esempi di variabili aleatorie discrete sono i seguenti: il numero di intrusioni di pensieri, immagini, impulsi indesiderabili in un paziente OCD, il voto all’esame di Psicometria, la durata di vita di un individuo, il numero dei punti che si osservano nel lancio di due dadi e il guadagno (la perdita) che un giocatore realizzerà in \(n\) partite. Si noti che, in tutti questi casi, la variabile aleatoria considerata viene rappresentata mediante un numero.

13.8 Notazione

Qui sotto è riportata la notazione che verrà usata per fare riferimento ad eventi e probabilità, nel caso discreto e continuo, in maniera tale che queste convenzioni siano elencate tutte in un posto solo.

• Gli eventi sono denotati da lettere maiuscole, es. \(A\), \(B\), \(C\).
• Una variabile aleatoria è denotata da una lettera maiuscola, ad esempio \(X\), e assume valori denotati dalla stessa lettera minuscola, ad esempio \(x\).
• La connessione tra eventi e valori viene espressa nei termini seguenti: “\(X = x\)” significa che l’evento \(X\) assume il valore \(x\).
• La probabilità di un evento è denotata con \(P(A)\).
• Una variabile aleatoria discreta ha una funzione di massa di probabilità denotata con \(p(x)\). La relazione tra \(P\) e \(p\) è che \(P(X=x) = p(x)\).