Appendice F — Per liberarvi dai terrori preliminari
In questo capitolo, traduciamo e adattiamo il capitolo Per liberarvi dai terrori preliminari tratto da Calculus made easy.
Il terrore preliminare, che spesso impedisce agli studenti di avvicinarsi all’analisi matematica, può essere superato comprendendo il significato intuitivo dei due simboli principali utilizzati in questo campo.
Questi simboli, che possono sembrare intimidatori, sono in realtà molto semplici:
\(d\): Questo simbolo significa semplicemente “un po’ di”. Ad esempio, \(\operatorname{d}\!x\) indica un piccolo incremento di \(x\), mentre \(\operatorname{d}\!u\) rappresenta un piccolo incremento di \(u\). I matematici preferiscono dire “un elemento di” invece di “un po’ di”, ma il concetto è lo stesso. Questi piccoli incrementi possono essere considerati infinitamente piccoli.
\(\int\): Questo simbolo è una S allungata e rappresenta “la somma di”. Quindi, \(\int \operatorname{d}\!x\) significa la somma di tutti i piccoli incrementi di \(x\), mentre \(\int \operatorname{d}\!t\) indica la somma di tutti i piccoli incrementi di \(t\). I matematici chiamano questo simbolo “integrale”. Se consideri \(x\) come composto da tanti piccoli pezzi \(\operatorname{d}\!x\), sommandoli tutti otterrai l’intero valore di \(x\). La parola “integrale” significa semplicemente “il tutto”. Ad esempio, se pensi a un’ora come composta da 3600 secondi, la somma di tutti questi secondi ti darà un’ora. Quando vedi un’espressione che inizia con \(\int\), significa che devi sommare tutti i piccoli pezzi indicati dai simboli che seguono.
Ecco, il terrore è svanito!
F.1 Integrali
F.1.1 Intuizione e verifica con simulazioni in R
Per calcolare e visualizzare l’integrale di una funzione di densità, possiamo utilizzare il linguaggio di programmazione R. Consideriamo come esempio la funzione di densità gaussiana, definita dalla seguente formula:
\[ f(x; \mu, \sigma) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2 \sigma^2}}. \]
In R, possiamo definire questa funzione come segue:
Definiamo i parametri e generiamo i valori per il calcolo della funzione di densità su un intervallo:
Visualizziamo la funzione utilizzando il pacchetto ggplot2:
ggplot(data.frame(x = x_range, fx = fx), aes(x, fx)) +
geom_line() +
scale_fill_qualitative() +
labs(
title = "Funzione di densità gaussiana",
x = "x",
y = "f(x)"
)
F.1.2 Approssimare l’integrale: il metodo dei rettangoli
L’idea fondamentale è che l’integrale rappresenta l’area sotto la curva. Possiamo approssimarla sommando i prodotti \(\Delta x \cdot f(x)\), dove \(\Delta x\) è la larghezza di piccoli rettangoli:
integral_approximation <- function(f, a, b, n) {
delta <- (b - a) / n
sum(delta * f)
}
# Calcolo dell'integrale approssimato sull'intero dominio
approx <- integral_approximation(fx, a, b, n)
approx
#> [1] 1Confrontiamo il risultato con il calcolo fornito dalla funzione integrate di R:
F.1.3 Esempio applicato: intervallo di confidenza al 95%
Calcoliamo l’area sotto la curva nell’intervallo \([-1.96, 1.96]\), che corrisponde al 95% dell’area nella distribuzione normale standard. Questo è un calcolo fondamentale in statistica per gli intervalli di confidenza.
a <- -1.96
b <- 1.96
x_range <- seq(a, b, length.out = n)
fx <- gaussian(x_range, mu, sigma)
# Approssimazione
approx <- integral_approximation(fx, a, b, n)
cat("Approssimazione numerica:", approx, "\n")
#> Approssimazione numerica: 0.95
# Valore esatto
exact <- integrate(
function(x) gaussian(x, mu, sigma),
lower = a,
upper = b
)
cat("Integrale esatto:", exact$value, "\n")
#> Integrale esatto: 0.95Come previsto, otteniamo circa 0.95 (95%), confermando che l’integrale calcola correttamente l’area sotto la curva.
In statistica bayesiana, gli integrali sono fondamentali per calcolare: - La costante di normalizzazione di una distribuzione di probabilità - Distribuzioni marginali (integrando su parametri di disturbo) - Valori attesi e varianze di distribuzioni continue
F.2 Potenze
Le potenze sono un’operazione matematica che rappresenta un prodotto ripetuto. Si indicano generalmente come:
\[ a^n, \]
dove:
- \(a\) è la base,
- \(n\) è l’esponente.
La potenza rappresenta il prodotto della base \(a\) ripetuto \(n\) volte.
F.2.1 Definizione di potenza
\[ a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}_{n \text{ fattori}} \quad \text{con } n \in \mathbb{N}. \]
Ad esempio:
- \(2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8\),
- \(3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81\).
F.2.2 Proprietà delle potenze
-
Moltiplicazione di potenze con la stessa base:
\[ a^m \cdot a^n = a^{m+n} \]
Esempio: \(2^3 \cdot 2^2 = 2^{3+2} = 2^5 = 32\).
-
Divisione di potenze con la stessa base:
\[ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}, \quad \text{con } m \geq n. \]
Esempio: \(\frac{5^4}{5^2} = 5^{4-2} = 5^2 = 25\).
-
Potenze di potenze:
\[ (a^m)^n = a^{m \cdot n}. \]
Esempio: \((3^2)^3 = 3^{2 \cdot 3} = 3^6 = 729\).
-
Prodotto di potenze con basi diverse ma lo stesso esponente:
\[ a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n. \]
Esempio: \(2^3 \cdot 3^3 = (2 \cdot 3)^3 = 6^3 = 216\).
-
Divisione di potenze con basi diverse ma lo stesso esponente:
\[ \frac{a^n}{b^n} = \left(\frac{a}{b}\right)^n. \]
Esempio: \(\frac{4^2}{2^2} = \left(\frac{4}{2}\right)^2 = 2^2 = 4\).
-
Esponente zero:
\[ a^0 = 1, \quad \text{con } a \neq 0. \]
Esempio: \(5^0 = 1\).
-
Esponente negativo:
\[ a^{-n} = \frac{1}{a^n}. \]
Esempio: \(2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}\).
-
Radice come potenza frazionaria:
\[ a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}, \quad a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}. \]
Esempio: \(8^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{8} = 2\).
F.2.3 Esempi pratici
-
Calcolo semplice:
\[ 4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64. \]
-
Utilizzo delle proprietà:
\[ 3^5 \cdot 3^2 = 3^{5+2} = 3^7 = 2187. \]
-
Divisione:
\[ \frac{6^4}{6^2} = 6^{4-2} = 6^2 = 36. \]
-
Esponente negativo:
\[ 10^{-2} = \frac{1}{10^2} = \frac{1}{100} = 0.01. \]
-
Radice come potenza:
\[ 16^{\frac{1}{2}} = \sqrt{16} = 4. \]
F.2.4 Nota sui numeri razionali e reali
- Le potenze con esponenti interi sono definite per ogni base.
- Le potenze con esponenti frazionari o reali richiedono che la base sia positiva per evitare ambiguità.
F.3 Logaritmi
Il logaritmo è una funzione matematica che risponde alla domanda: “quante volte devo moltiplicare un certo numero (chiamato”base”) per ottenere un altro numero?” Matematicamente, questo è espresso come:
\[ \log_b(a) = x \iff b^x = a \]
Ad esempio, \(\log_2(8) = 3\) perché \(2^3 = 8\).
Nel contesto dei logaritmi, i valori molto piccoli (compresi tra 0 e 1) diventano più grandi (in termini assoluti) e negativi quando applichiamo una funzione logaritmica. Questo è utile per stabilizzare i calcoli, specialmente quando lavoriamo con prodotti di numeri molto piccoli che potrebbero portare a problemi di underflow.
Per esempio:
- \(\log(1) = 0\)
- \(\log(0.1) = -1\)
- \(\log(0.01) = -2\)
- \(\log(0.001) = -3\)
Come si può vedere, i valori assoluti dei logaritmi crescono man mano che il numero originale si avvicina a zero.
F.3.1 Proprietà fondamentali dei logaritmi
Una delle proprietà più utili dei logaritmi è che consentono di trasformare un prodotto in una somma:
\[ \log_b(a \times c) = \log_b(a) + \log_b(c) \]
Questa proprietà è estremamente utile in calcoli complessi, come nella statistica bayesiana, dove il prodotto di molte probabilità potrebbe diventare un numero molto piccolo e causare problemi numerici.
Un’altra proprietà utile dei logaritmi è che un rapporto tra due numeri diventa la differenza dei loro logaritmi:
\[ \log_b\left(\frac{a}{c}\right) = \log_b(a) - \log_b(c) \]
Anche questa proprietà è molto utilizzata in matematica, specialmente in situazioni in cui è necessario normalizzare i dati.
Nell’inferenza bayesiana, si lavora spesso con la log-verosimiglianza invece della verosimiglianza:
\[ \log \mathcal{L}(\theta) = \sum_{i=1}^n \log p(y_i \mid \theta) \]
Questo trasforma il prodotto di probabilità in una somma, rendendo i calcoli numericamente stabili e computazionalmente efficienti.
In sintesi, i logaritmi sono strumenti potenti per semplificare e stabilizzare i calcoli matematici. Essi consentono di lavorare più agevolmente con numeri molto grandi o molto piccoli e di trasformare operazioni complesse come prodotti e divisioni in somme e differenze, rendendo i calcoli più gestibili e meno inclini a errori numerici.