[1] TRUE2 %in% my_set # FALSE[1] FALSE[1] TRUEAppendice D — Insiemi
Un insieme (o collezione, classe, gruppo, …) è stato definito da Georg Cantor nel modo seguente:
un insieme è una collezione di oggetti, determinati e distinti, della nostra percezione o del nostro pensiero, concepiti come un tutto unico; tali oggetti si dicono elementi dell’insieme.
Mentre non è rilevante la natura degli oggetti che costituiscono l’insieme, ciò che importa è distinguere se un dato oggetto appartenga o meno ad un insieme. Deve essere vera una delle due possibilità: il dato oggetto è un elemento dell’insieme considerato oppure non è elemento dell’insieme considerato. Due insiemi \(A\) e \(B\) si dicono uguali se sono formati dagli stessi elementi, anche se disposti in ordine diverso: \(A=B\). Due insiemi \(A\) e \(B\) si dicono diversi se non contengono gli stessi elementi: \(A \neq B\). Ad esempio, i seguenti insiemi sono uguali:
\[ \{1, 2, 3\} = \{3, 1, 2\} = \{1, 3, 2\}= \{1, 1, 1, 2, 3, 3, 3\}. \]
Gli insiemi sono denotati da una lettera maiuscola, mentre le lettere minuscole, di solito, designano gli elementi di un insieme. Per esempio, un generico insieme \(A\) si indica con
\[ A = \{a_1, a_2, \dots, a_n\}, \quad \text{con } n > 0. \]
La scrittura \(a \in A\) dice che \(a\) è un elemento di \(A\). Per dire che \(b\) non è un elemento di \(A\) si scrive \(b \notin A.\)
Per quegli insiemi i cui elementi soddisfano una certa proprietà che li caratterizza, tale proprietà può essere usata per descrivere più sinteticamente l’insieme:
\[ A = \{x ~\vert~ \text{proprietà posseduta da } x\}, \]
che si legge come “\(A\) è l’insieme degli elementi \(x\) per cui è vera la proprietà indicata.” Per esempio, per indicare l’insieme \(A\) delle coppie di numeri reali \((x,y)\) che appartengono alla parabola \(y = x^2 + 1\) si può scrivere:
\[ A = \{(x,y) ~\vert~ y = x^2 + 1\}. \]
Dati due insiemi \(A\) e \(B\), diremo che \(A\) è un sottoinsieme di \(B\) se e solo se tutti gli elementi di \(A\) sono anche elementi di \(B\):
\[ A \subseteq B \iff (\forall x \in A \Rightarrow x \in B). \]
Se esiste almeno un elemento di \(B\) che non appartiene ad \(A\) allora diremo che \(A\) è un sottoinsieme proprio di \(B\):
\[ A \subset B \iff (A \subseteq B, \exists~ x \in B ~\vert~ x \notin A). \]
Un altro insieme, detto insieme delle parti, o insieme potenza, che si associa all’insieme \(A\) è l’insieme di tutti i sottoinsiemi di \(A\), inclusi l’insieme vuoto e \(A\) stesso. Per esempio, per l’insieme \(A = \{a, b, c\}\), l’insieme delle parti è:
\[ \mathcal{P}(A) = \{ \emptyset, \{a\}, \{b\}, \{c\}, \{a, b\}, \{a, c\}, \{c, b\}, \{a, b, c\} \}. \]
D.1 Diagrammi di Eulero-Venn
I diagrammi di Venn sono uno strumento grafico molto utile per rappresentare gli insiemi e per verificare le proprietà delle operazioni tra di essi. Questi diagrammi prendono il nome dal matematico inglese del 19° secolo John Venn, anche se rappresentazioni simili erano già state utilizzate in precedenza da Leibniz e Eulero.
I diagrammi di Venn rappresentano gli insiemi come regioni del piano delimitate da una curva chiusa. Nel caso di insiemi finiti, è possibile evidenziare alcuni elementi di un insieme tramite punti, e in alcuni casi possono essere evidenziati tutti gli elementi degli insiemi considerati.
In sostanza, questi diagrammi sono un modo visuale per rappresentare le proprietà degli insiemi e delle operazioni tra di essi. Sono uno strumento molto utile per visualizzare la relazione tra gli insiemi e per capire meglio come si combinano gli elementi all’interno di essi.
D.2 Operazioni tra insiemi
Si definisce intersezione di \(A\) e \(B\) l’insieme \(A \cap B\) di tutti gli elementi \(x\) che appartengono ad \(A\) e contemporaneamente a \(B\):
\[ A \cap B = \{x ~\vert~ x \in A \land x \in B\}. \]
Si definisce unione di \(A\) e \(B\) l’insieme \(A \cup B\) di tutti gli elementi \(x\) che appartengono ad \(A\) o a \(B\), cioè
\[ A \cup B = \{x ~\vert~ x \in A \lor x \in B\}. \]
Differenza. Si indica con \(A \setminus B\) l’insieme degli elementi di \(A\) che non appartengono a \(B\):
\[ A \setminus B = \{x ~\vert~ x \in A \land x \notin B\}. \]
Insieme complementare. Nel caso che sia \(B \subseteq A\), l’insieme differenza \(A \setminus B\) è detto insieme complementare di \(B\) in \(A\) e si indica con \(B^C\).
Dato un insieme \(S\), una partizione di \(S\) è una collezione di sottoinsiemi di \(S\), \(S_1, \dots, S_k\), tali che
\[ S = S_1 \cup S_2 \cup \dots S_k \]
e
\[ S_i \cap S_j = \emptyset, \quad \text{con } i \neq j. \]
La relazione tra unione, intersezione e insieme complementare è data dalle leggi di DeMorgan:
\[ (A \cup B)^c = A^c \cap B^c, \]
\[ (A \cap B)^c = A^c \cup B^c. \]
In tutte le seguenti figure, \(S\) è la regione delimitata dal rettangolo, \(L\) è la regione all’interno del cerchio di sinistra e \(R\) è la regione all’interno del cerchio di destra. La regione evidenziata mostra l’insieme indicato sotto ciascuna figura.
I diagrammi di Eulero-Venn che illustrano le leggi di DeMorgan sono forniti nella figura seguente.
D.3 Implementazione in R
Vediamo ora come implementare in R i concetti fondamentali della teoria degli insiemi. Gli esempi sono volutamente concisi per servire come riferimento rapido.
D.3.1 Appartenenza e relazioni base
D.3.2 Operazioni tra insiemi
D.4 Coppie ordinate e prodotto cartesiano
Una coppia ordinata \((x,y)\) è l’insieme i cui elementi sono \(x \in A\) e \(y \in B\) e nella quale \(x\) è la prima componente (o prima coordinata) e \(y\) la seconda. L’insieme di tutte le coppie ordinate costruite a partire dagli insiemi \(A\) e \(B\) viene detto prodotto cartesiano:
\[ A \times B = \{(x, y) ~\vert~ x \in A \land y \in B\}. \]
Ad esempio, sia \(A = \{1, 2, 3\}\) e \(B = \{a, b\}\). Allora,
\[ \{1, 2\} \times \{a, b, c\} = \{(1, a), (1, b), (1, c), (2, a), (2, b), (2, c)\}. \]
Più in generale, un prodotto cartesiano di \(n\) insiemi può essere rappresentato da un array di \(n\) dimensioni, dove ogni elemento è una ennupla o tupla ordinata (ovvero, una collezione o un elenco ordinato di \(n\) oggetti). Una n-pla ordinata si distingue da un insieme di \(n\) elementi in quanto fra gli elementi di un insieme non è dato alcun ordine. Inoltre gli elementi di una ennupla possono anche essere ripetuti. Essendo la n-pla un elenco ordinato, in generale di ogni suo elemento è possibile dire se sia il primo, il secondo, il terzo, eccetera, fino all’n-esimo. Il prodotto cartesiano prende il nome da René Descartes la cui formulazione della geometria analitica ha dato origine al concetto.
A <- c("a", "b", "c")
S <- 1:3
# Prodotto cartesiano
cartesian_product <- expand.grid(A, S)
print(cartesian_product) Var1 Var2
1 a 1
2 b 1
3 c 1
4 a 2
5 b 2
6 c 2
7 a 3
8 b 3
9 c 3# Cardinalità del prodotto
nrow(cartesian_product) # 9 = 3 × 3[1] 9Si definisce cardinalità (o potenza) di un insieme finito il numero degli elementi dell’insieme. Viene indicata con \(\vert A\vert, \#(A)\) o \(\text{c}(A)\).
Esempio: potenza del prodotto cartesiano
A <- c("Head", "Tail")
# A²: prodotto cartesiano di A con se stesso
p2 <- expand.grid(A, A)
nrow(p2) # 4 = 2²[1] 4# A³
p3 <- expand.grid(A, A, A)
nrow(p3) # 8 = 2³[1] 8
NotaCollegamento al calcolo delle probabilità
Gli insiemi e il loro prodotto cartesiano sono fondamentali per definire lo spazio campionario negli esperimenti casuali. Ad esempio, il lancio di due monete ha spazio campionario \(\Omega = \{\text{Testa}, \text{Croce}\} \times \{\text{Testa}, \text{Croce}\}\), con cardinalità \(|\Omega| = 4\).