32. Il tempo su una metrica continua#
Quando si cerca di comprendere il cambiamento all’interno della persona, una prima decisione importante è quella di scegliere una scala temporale appropriata per monitorare il cambiamento. Ad esempio, nell’esempio illustrativo discusso nel capitolo precedente, abbiamo scelto il grado scolastico come scala temporale e abbiamo organizzato le osservazioni attorno a questa metrica. Tuttavia, questa non è l’unica metrica del tempo possibile per questi dati. Altre metriche potenzialmente significative includono l’età e l’occasione di misurazione. Esistono metriche del tempo che rappresentano intervalli di tempo discreti, come l’occasione di misurazione o il grado scolastico, dove la metrica assume valori discreti comuni ai partecipanti. Ma non tutti i partecipanti devono essere valutati in ogni occasione di misurazione. Esistono anche metriche del tempo più continue, come l’età, dove i valori non sono comuni a più partecipanti. La stessa metrica può essere utilizzata in modo discreto o continuo. Ad esempio, l’età potrebbe essere arrotondata all’anno più vicino e il grado scolastico potrebbe essere misurato con precisione come anno scolastico più i giorni dall’inizio dell’anno. In questo capitolo discutiamo tecniche per adattare modelli di crescita con una metrica del tempo continua.
32.1. Una applicazione concreta#
L’approccio della finestra temporale è un metodo potenziale per analizzare dati con occasioni di misurazione individualmente variabili. In sostanza, l’approccio della finestra temporale mira ad approssimare la metrica del tempo individualmente variabile su una scala discreta. Ad esempio, ciò può essere ottenuto arrotondando il tempo/l’età al mezzo o al quarto d’anno più vicino.
Questo metodo è ovviamente ancora un’approssimazione del tempo. Si può ottenere maggiore precisione utilizzando finestre più piccole, ma se la matrice dei dati diventa troppo sparsa, la stima diventa difficile.
In questo esempio, le finestre temporali sono definite come semestri. Quindi, prendiamo i nostri dati in formato long, arrotondiamo l’età al semestre più vicino e convertiamo i dati in formato wide per l’utilizzo nel framework SEM.
Per questo esempio considereremo i dati di presrtazione matematica dal data set NLSY-CYA Long Data [si veda Grimm et al. [GRE16]]. Iniziamo a leggere i dati.
#set filepath for data file
filepath <- "https://raw.githubusercontent.com/LRI-2/Data/main/GrowthModeling/nlsy_math_long_R.dat"
#read in the text data file using the url() function
dat <- read.table(file=url(filepath),
na.strings = ".") #indicates the missing data designator
#copy data with new name
nlsy_math_long <- dat
#Add names the columns of the data set
names(nlsy_math_long) = c('id' , 'female', 'lb_wght',
'anti_k1', 'math' , 'grade' ,
'occ' , 'age' , 'men' ,
'spring' , 'anti')
#subset to the variables of interest
nlsy_math_long <- nlsy_math_long[ ,c("id", "math", "grade", "age")]
#view the first few observations in the data set
head(nlsy_math_long, 10)
| id | math | grade | age | |
|---|---|---|---|---|
| <int> | <int> | <int> | <int> | |
| 1 | 201 | 38 | 3 | 111 |
| 2 | 201 | 55 | 5 | 135 |
| 3 | 303 | 26 | 2 | 121 |
| 4 | 303 | 33 | 5 | 145 |
| 5 | 2702 | 56 | 2 | 100 |
| 6 | 2702 | 58 | 4 | 125 |
| 7 | 2702 | 80 | 8 | 173 |
| 8 | 4303 | 41 | 3 | 115 |
| 9 | 4303 | 58 | 4 | 135 |
| 10 | 5002 | 46 | 4 | 117 |
#intraindividual change trajetories
ggplot(data=nlsy_math_long, #data set
aes(x = age, y = math, group = id)) + #setting variables
geom_point(size=.5) + #adding points to plot
geom_line() + #adding lines to plot
#setting the x-axis with breaks and labels
scale_x_continuous(#limits=c(2,8),
#breaks = c(2,3,4,5,6,7,8),
name = "Age at Testing") +
#setting the y-axis with limits breaks and labels
scale_y_continuous(limits=c(10,90),
breaks = c(10,30,50,70,90),
name = "PIAT Mathematics")
Implementiamo il metodo della finestra temporale e ricodifichiamo i dati in formato wide.
# creating new age variable scaled in years
nlsy_math_long$ageyr <- (nlsy_math_long$age / 12)
head(nlsy_math_long)
| id | math | grade | age | ageyr | |
|---|---|---|---|---|---|
| <int> | <int> | <int> | <int> | <dbl> | |
| 1 | 201 | 38 | 3 | 111 | 9.250000 |
| 2 | 201 | 55 | 5 | 135 | 11.250000 |
| 3 | 303 | 26 | 2 | 121 | 10.083333 |
| 4 | 303 | 33 | 5 | 145 | 12.083333 |
| 5 | 2702 | 56 | 2 | 100 | 8.333333 |
| 6 | 2702 | 58 | 4 | 125 | 10.416667 |
# rounding to nearest half-year
# multiplied by 10 to remove decimal for easy conversion to wide
nlsy_math_long$agewindow <- plyr::round_any(nlsy_math_long$ageyr * 10, 5)
head(nlsy_math_long)
| id | math | grade | age | ageyr | agewindow | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| <int> | <int> | <int> | <int> | <dbl> | <dbl> | |
| 1 | 201 | 38 | 3 | 111 | 9.250000 | 90 |
| 2 | 201 | 55 | 5 | 135 | 11.250000 | 110 |
| 3 | 303 | 26 | 2 | 121 | 10.083333 | 100 |
| 4 | 303 | 33 | 5 | 145 | 12.083333 | 120 |
| 5 | 2702 | 56 | 2 | 100 | 8.333333 | 85 |
| 6 | 2702 | 58 | 4 | 125 | 10.416667 | 105 |
# reshaping long to wide (just variables of interest)
nlsy_math_wide <- reshape(
data = nlsy_math_long[, c("id", "math", "agewindow")],
timevar = c("agewindow"),
idvar = c("id"),
v.names = c("math"),
direction = "wide", sep = ""
)
# reordering columns for easy viewing
nlsy_math_wide <- nlsy_math_wide[, c(
"id", "math70", "math75", "math80", "math85", "math90", "math95", "math100", "math105", "math110", "math115", "math120", "math125", "math130", "math135", "math140", "math145"
)]
# looking at the data
head(nlsy_math_wide)
| id | math70 | math75 | math80 | math85 | math90 | math95 | math100 | math105 | math110 | math115 | math120 | math125 | math130 | math135 | math140 | math145 | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| <int> | <int> | <int> | <int> | <int> | <int> | <int> | <int> | <int> | <int> | <int> | <int> | <int> | <int> | <int> | <int> | <int> | |
| 1 | 201 | NA | NA | NA | NA | 38 | NA | NA | NA | 55 | NA | NA | NA | NA | NA | NA | NA |
| 3 | 303 | NA | NA | NA | NA | NA | NA | 26 | NA | NA | NA | 33 | NA | NA | NA | NA | NA |
| 5 | 2702 | NA | NA | NA | 56 | NA | NA | NA | 58 | NA | NA | NA | NA | NA | NA | NA | 80 |
| 8 | 4303 | NA | NA | NA | NA | NA | 41 | NA | NA | 58 | NA | NA | NA | NA | NA | NA | NA |
| 10 | 5002 | NA | NA | NA | NA | NA | NA | 46 | NA | NA | NA | 54 | NA | NA | NA | 66 | NA |
| 13 | 5005 | NA | NA | 35 | NA | NA | 50 | NA | NA | NA | 60 | NA | NA | NA | 59 | NA | NA |
Specifichiamo il modello SEM.
#writing out linear growth model in full SEM way
lg_math_age_lavaan_model <- '
# latent variable definitions
#intercept (note intercept is a reserved term)
eta_1 =~ 1*math70 +
1*math75 +
1*math80 +
1*math85 +
1*math90 +
1*math95 +
1*math100 +
1*math105 +
1*math110 +
1*math115 +
1*math120 +
1*math125 +
1*math130 +
1*math135 +
1*math140 +
1*math145
#linear slope (note intercept is a reserved term)
eta_2 =~ -1*math70 +
-0.5*math75 +
0*math80 +
0.5*math85 +
1*math90 +
1.5*math95 +
2*math100 +
2.5*math105 +
3*math110 +
3.5*math115 +
4*math120 +
4.5*math125 +
5*math130 +
5.5*math135 +
6*math140 +
6.5*math145
# factor variances
eta_1 ~~ start(65)*eta_1
eta_2 ~~ start(.75)*eta_2
# covariances among factors
eta_1 ~~ start(1.2)*eta_2
# manifest variances (made equivalent by naming theta)
math70 ~~ start(35)*theta*math70
math75 ~~ theta*math75
math80 ~~ theta*math80
math85 ~~ theta*math85
math90 ~~ theta*math90
math95 ~~ theta*math95
math100 ~~ theta*math100
math105 ~~ theta*math105
math110 ~~ theta*math110
math115 ~~ theta*math115
math120 ~~ theta*math120
math125 ~~ theta*math125
math130 ~~ theta*math130
math135 ~~ theta*math135
math140 ~~ theta*math140
math145 ~~ theta*math145
# manifest means (fixed at zero)
math70 ~ 0*1
math75 ~ 0*1
math80 ~ 0*1
math85 ~ 0*1
math90 ~ 0*1
math95 ~ 0*1
math100 ~ 0*1
math105 ~ 0*1
math110 ~ 0*1
math115 ~ 0*1
math120 ~ 0*1
math125 ~ 0*1
math130 ~ 0*1
math135 ~ 0*1
math140 ~ 0*1
math145 ~ 0*1
# factor means (estimated freely)
eta_1 ~ start(35)*1
eta_2 ~ start(4)*1
' #end of model definition
Adattiamo il modello ai dati.
#estimating the model using sem() function
lg_math_age_lavaan_fit <- sem(lg_math_age_lavaan_model,
data = nlsy_math_wide,
meanstructure = TRUE,
estimator = "ML",
missing = "fiml"
)
Warning message in lav_data_full(data = data, group = group, cluster = cluster, :
“lavaan WARNING:
due to missing values, some pairwise combinations have 0%
coverage; use lavInspect(fit, "coverage") to investigate.”
Warning message in lav_mvnorm_missing_h1_estimate_moments(Y = X[[g]], wt = WT[[g]], :
“lavaan WARNING:
Maximum number of iterations reached when computing the sample
moments using EM; use the em.h1.iter.max= argument to increase the
number of iterations”
Esaminiamo la soluzione.
summary(lg_math_age_lavaan_fit, fit.measures = TRUE) |>
print()
Warning message in pchisq(X2, df = df, ncp = ncp):
“NaNs produced”
Warning message in pchisq(X2, df = df, ncp = ncp):
“NaNs produced”
lavaan 0.6.15 ended normally after 27 iterations
Estimator ML
Optimization method NLMINB
Number of model parameters 21
Number of equality constraints 15
Number of observations 932
Number of missing patterns 139
Model Test User Model:
Test statistic 295.028
Degrees of freedom 146
P-value (Chi-square) 0.000
Model Test Baseline Model:
Test statistic 1053.342
Degrees of freedom 120
P-value 0.000
User Model versus Baseline Model:
Comparative Fit Index (CFI) 0.840
Tucker-Lewis Index (TLI) 0.869
Robust Comparative Fit Index (CFI) 0.003
Robust Tucker-Lewis Index (TLI) 0.181
Loglikelihood and Information Criteria:
Loglikelihood user model (H0) -7928.559
Loglikelihood unrestricted model (H1) -7781.045
Akaike (AIC) 15869.117
Bayesian (BIC) 15898.141
Sample-size adjusted Bayesian (SABIC) 15879.086
Root Mean Square Error of Approximation:
RMSEA 0.033
90 Percent confidence interval - lower 0.028
90 Percent confidence interval - upper 0.039
P-value H_0: RMSEA <= 0.050 1.000
P-value H_0: RMSEA >= 0.080 0.000
Robust RMSEA 4.193
90 Percent confidence interval - lower 0.000
90 Percent confidence interval - upper 0.000
P-value H_0: Robust RMSEA <= 0.050 NaN
P-value H_0: Robust RMSEA >= 0.080 NaN
Standardized Root Mean Square Residual:
SRMR 0.314
Parameter Estimates:
Standard errors Standard
Information Observed
Observed information based on Hessian
Latent Variables:
Estimate Std.Err z-value P(>|z|)
eta_1 =~
math70 1.000
math75 1.000
math80 1.000
math85 1.000
math90 1.000
math95 1.000
math100 1.000
math105 1.000
math110 1.000
math115 1.000
math120 1.000
math125 1.000
math130 1.000
math135 1.000
math140 1.000
math145 1.000
eta_2 =~
math70 -1.000
math75 -0.500
math80 0.000
math85 0.500
math90 1.000
math95 1.500
math100 2.000
math105 2.500
math110 3.000
math115 3.500
math120 4.000
math125 4.500
math130 5.000
math135 5.500
math140 6.000
math145 6.500
Covariances:
Estimate Std.Err z-value P(>|z|)
eta_1 ~~
eta_2 1.157 1.010 1.146 0.252
Intercepts:
Estimate Std.Err z-value P(>|z|)
.math70 0.000
.math75 0.000
.math80 0.000
.math85 0.000
.math90 0.000
.math95 0.000
.math100 0.000
.math105 0.000
.math110 0.000
.math115 0.000
.math120 0.000
.math125 0.000
.math130 0.000
.math135 0.000
.math140 0.000
.math145 0.000
eta_1 35.236 0.347 101.512 0.000
eta_2 4.229 0.081 51.910 0.000
Variances:
Estimate Std.Err z-value P(>|z|)
eta_1 65.063 5.503 11.824 0.000
eta_2 0.725 0.277 2.616 0.009
.math70 (thet) 32.337 1.695 19.083 0.000
.math75 (thet) 32.337 1.695 19.083 0.000
.math80 (thet) 32.337 1.695 19.083 0.000
.math85 (thet) 32.337 1.695 19.083 0.000
.math90 (thet) 32.337 1.695 19.083 0.000
.math95 (thet) 32.337 1.695 19.083 0.000
.math100 (thet) 32.337 1.695 19.083 0.000
.math105 (thet) 32.337 1.695 19.083 0.000
.math110 (thet) 32.337 1.695 19.083 0.000
.math115 (thet) 32.337 1.695 19.083 0.000
.math120 (thet) 32.337 1.695 19.083 0.000
.math125 (thet) 32.337 1.695 19.083 0.000
.math130 (thet) 32.337 1.695 19.083 0.000
.math135 (thet) 32.337 1.695 19.083 0.000
.math140 (thet) 32.337 1.695 19.083 0.000
.math145 (thet) 32.337 1.695 19.083 0.000
parameterEstimates(lg_math_age_lavaan_fit) |>
print()
lhs op rhs label est se z pvalue ci.lower ci.upper
1 eta_1 =~ math70 1.000 0.000 NA NA 1.000 1.000
2 eta_1 =~ math75 1.000 0.000 NA NA 1.000 1.000
3 eta_1 =~ math80 1.000 0.000 NA NA 1.000 1.000
4 eta_1 =~ math85 1.000 0.000 NA NA 1.000 1.000
5 eta_1 =~ math90 1.000 0.000 NA NA 1.000 1.000
6 eta_1 =~ math95 1.000 0.000 NA NA 1.000 1.000
7 eta_1 =~ math100 1.000 0.000 NA NA 1.000 1.000
8 eta_1 =~ math105 1.000 0.000 NA NA 1.000 1.000
9 eta_1 =~ math110 1.000 0.000 NA NA 1.000 1.000
10 eta_1 =~ math115 1.000 0.000 NA NA 1.000 1.000
11 eta_1 =~ math120 1.000 0.000 NA NA 1.000 1.000
12 eta_1 =~ math125 1.000 0.000 NA NA 1.000 1.000
13 eta_1 =~ math130 1.000 0.000 NA NA 1.000 1.000
14 eta_1 =~ math135 1.000 0.000 NA NA 1.000 1.000
15 eta_1 =~ math140 1.000 0.000 NA NA 1.000 1.000
16 eta_1 =~ math145 1.000 0.000 NA NA 1.000 1.000
17 eta_2 =~ math70 -1.000 0.000 NA NA -1.000 -1.000
18 eta_2 =~ math75 -0.500 0.000 NA NA -0.500 -0.500
19 eta_2 =~ math80 0.000 0.000 NA NA 0.000 0.000
20 eta_2 =~ math85 0.500 0.000 NA NA 0.500 0.500
21 eta_2 =~ math90 1.000 0.000 NA NA 1.000 1.000
22 eta_2 =~ math95 1.500 0.000 NA NA 1.500 1.500
23 eta_2 =~ math100 2.000 0.000 NA NA 2.000 2.000
24 eta_2 =~ math105 2.500 0.000 NA NA 2.500 2.500
25 eta_2 =~ math110 3.000 0.000 NA NA 3.000 3.000
26 eta_2 =~ math115 3.500 0.000 NA NA 3.500 3.500
27 eta_2 =~ math120 4.000 0.000 NA NA 4.000 4.000
28 eta_2 =~ math125 4.500 0.000 NA NA 4.500 4.500
29 eta_2 =~ math130 5.000 0.000 NA NA 5.000 5.000
30 eta_2 =~ math135 5.500 0.000 NA NA 5.500 5.500
31 eta_2 =~ math140 6.000 0.000 NA NA 6.000 6.000
32 eta_2 =~ math145 6.500 0.000 NA NA 6.500 6.500
33 eta_1 ~~ eta_1 65.063 5.503 11.824 0.000 54.278 75.849
34 eta_2 ~~ eta_2 0.725 0.277 2.616 0.009 0.182 1.268
35 eta_1 ~~ eta_2 1.157 1.010 1.146 0.252 -0.822 3.136
36 math70 ~~ math70 theta 32.337 1.695 19.083 0.000 29.016 35.658
37 math75 ~~ math75 theta 32.337 1.695 19.083 0.000 29.016 35.658
38 math80 ~~ math80 theta 32.337 1.695 19.083 0.000 29.016 35.658
39 math85 ~~ math85 theta 32.337 1.695 19.083 0.000 29.016 35.658
40 math90 ~~ math90 theta 32.337 1.695 19.083 0.000 29.016 35.658
41 math95 ~~ math95 theta 32.337 1.695 19.083 0.000 29.016 35.658
42 math100 ~~ math100 theta 32.337 1.695 19.083 0.000 29.016 35.658
43 math105 ~~ math105 theta 32.337 1.695 19.083 0.000 29.016 35.658
44 math110 ~~ math110 theta 32.337 1.695 19.083 0.000 29.016 35.658
45 math115 ~~ math115 theta 32.337 1.695 19.083 0.000 29.016 35.658
46 math120 ~~ math120 theta 32.337 1.695 19.083 0.000 29.016 35.658
47 math125 ~~ math125 theta 32.337 1.695 19.083 0.000 29.016 35.658
48 math130 ~~ math130 theta 32.337 1.695 19.083 0.000 29.016 35.658
49 math135 ~~ math135 theta 32.337 1.695 19.083 0.000 29.016 35.658
50 math140 ~~ math140 theta 32.337 1.695 19.083 0.000 29.016 35.658
51 math145 ~~ math145 theta 32.337 1.695 19.083 0.000 29.016 35.658
52 math70 ~1 0.000 0.000 NA NA 0.000 0.000
53 math75 ~1 0.000 0.000 NA NA 0.000 0.000
54 math80 ~1 0.000 0.000 NA NA 0.000 0.000
55 math85 ~1 0.000 0.000 NA NA 0.000 0.000
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69 eta_2 ~1 4.229 0.081 51.910 0.000 4.069 4.389
inspect(lg_math_age_lavaan_fit, what="est") |>
print()
$lambda
eta_1 eta_2
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math140 1 6.0
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$theta
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$psi
eta_1 eta_2
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$nu
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$alpha
intrcp
eta_1 35.236
eta_2 4.229
Creiamo un diagramma di percorso.
semPaths(lg_math_age_lavaan_fit,what = "path", whatLabels = "par")
