23. La revisione del modello#
Brown [Bro15] discute alcune possibili cause che possono essere responsabili della mancanza di adattamento del modello EFA o CFA ai dati. In particolare, vengono esaminate le seguenti possibili cause:
il ricercatore ha ipotizzato il numero sbagliato di fattori comuni latenti,
un item viene ipotizzato saturare su un solo fattore comune mentre satura su diversi fattori,
un item viene ipotizzato saturare sul fattore comune sbagliato,
è possibile che vi siano correlazioni residue che il modello non ha considerato.
Brown [Bro15] mostra come il ricercatore possa usare i Modification Indices per valutare le cause del mancato adattamento del modello ai dati. I Modification Indices sono una misura utilizzata per identificare le covariate tra le variabili del modello che potrebbero migliorare l’aderenza del modello ai dati. I modification indices indicano quale sarebbe il miglioramento nell’aderenza del modello, ad esempio, se venisse permessa la correlazione tra due variabili che attualmente non sono considerate correlate. Ciò consente di identificare le relazioni nascoste tra le variabili e può aiutare a migliorare la precisione e l’accuratezza del modello.
Tuttavia, è importante tenere presente che i modification indices da soli non dovrebbero essere usati per prendere decisioni definitive sulle modifiche del modello. Invece, dovrebbero essere considerati insieme ad altre informazioni, come la conoscenza teorica, l’esperienza e altre tecniche di analisi dei dati per determinare se una modifica del modello è giustificata e in che modo.
23.1. Un numero di fattori troppo piccolo#
Una delle possibili fonti di mancanza di adattamento del modello può dipendere dal fatto che è stato ipotizzato un numero insufficiente di fattori latenti comuni. Brown [Bro15] discute il caso nel quale si confrontano gli indici di bontà di adattamento di un modello ad un solo fattore comune e un modello a due fattori comuni. L’esempio riguarda i dati già in precedenza discussi e relativi relativi a otto misure di personalità raccolte su un campione di 250 pazienti che hanno concluso un programma di psicoterapia. Le scale sono le seguenti:
anxiety (N1),
hostility (N2),
depression (N3),
self-consciousness (N4),
warmth (E1),
gregariousness (E2),
assertiveness (E3),
positive emotions (E4).
Leggiamo i dati in \(\mathsf{R}\).
varnames <- c("N1", "N2", "N3", "N4", "E1", "E2", "E3", "E4")
sds <- c(5.7, 5.6, 6.4, 5.7, 6.0, 6.2, 5.7, 5.6)
cors <- '
1.000
0.767 1.000
0.731 0.709 1.000
0.778 0.738 0.762 1.000
-0.351 -0.302 -0.356 -0.318 1.000
-0.316 -0.280 -0.300 -0.267 0.675 1.000
-0.296 -0.289 -0.297 -0.296 0.634 0.651 1.000
-0.282 -0.254 -0.292 -0.245 0.534 0.593 0.566 1.000'
psychot_cor_mat <- getCov(cors, names = varnames)
n <- 250
Supponiamo di adattare ai dati il modello “sbagliato” che include un unico fattore comune. Svolgiamo qui l’analisi fattoriale esplorativa usando la funzione sperimentale efa() di lavaan.
# 1-factor model
f1 <- '
efa("efa")*f1 =~ N1 + N2 + N3 + N4 + E1 + E2 + E3 + E4
'
Adattiamo il modello ai dati.
efa_f1 <-
cfa(
model = f1,
sample.cov = psychot_cor_mat,
sample.nobs = 250,
rotation = "oblimin"
)
Consideriamo ora un modello a due fattori.
f2 <- '
efa("efa")*f1 +
efa("efa")*f2 =~ N1 + N2 + N3 + N4 + E1 + E2 + E3 + E4
'
Adattiamo il modello ai dati.
efa_f2 <-
cfa(
model = f2,
sample.cov = psychot_cor_mat,
sample.nobs = 250,
rotation = "oblimin"
)
Esaminiamo gli indici di bontà di adattamento.
# define the fit measures
fit_measures_robust <- c("chisq", "df", "pvalue", "cfi", "tli", "rmsea", "srmr")
# collect them for each model
rbind(
fitmeasures(efa_f1, fit_measures_robust),
fitmeasures(efa_f2, fit_measures_robust)
) %>%
# wrangle
data.frame() %>%
mutate(
chisq = round(chisq, digits = 0),
df = as.integer(df),
pvalue = ifelse(pvalue == 0, "< .001", pvalue)
) %>%
mutate_at(vars(cfi:srmr), ~ round(., digits = 3))
| chisq | df | pvalue | cfi | tli | rmsea | srmr |
|---|---|---|---|---|---|---|
| <dbl> | <int> | <chr> | <dbl> | <dbl> | <dbl> | <dbl> |
| 375 | 20 | < .001 | 0.71 | 0.594 | 0.267 | 0.187 |
| 10 | 13 | 0.709310449320098 | 1.00 | 1.006 | 0.000 | 0.010 |
print(effectsize::interpret(efa_f1))
Name Value Threshold Interpretation
1 GFI 0.6713421 0.95 poor
2 AGFI 0.4084158 0.90 poor
3 NFI 0.7006460 0.90 poor
4 NNFI 0.5941736 0.90 poor
5 CFI 0.7101240 0.90 poor
6 RMSEA 0.2665811 0.05 poor
7 SRMR 0.1873289 0.08 poor
8 RFI 0.5809044 0.90 poor
9 PNFI 0.5004614 0.50 satisfactory
10 IFI 0.7120036 0.90 poor
print(effectsize::interpret(efa_f2))
Name Value Threshold Interpretation
1 GFI 0.990554109 0.95 satisfactory
2 AGFI 0.973842148 0.90 satisfactory
3 NFI 0.992174918 0.90 satisfactory
4 NNFI 1.005603388 0.90 satisfactory
5 CFI 1.000000000 0.90 satisfactory
6 RMSEA 0.000000000 0.05 satisfactory
7 SRMR 0.009907613 0.08 satisfactory
8 RFI 0.983145977 0.90 satisfactory
9 PNFI 0.460652640 0.50 poor
10 IFI 1.002570123 0.90 satisfactory
I risultati mostrano come, in un modello EFA, una soluzione a due fattori produca un adattamento adeguato, mentre ciò non si verifica con un modello ad un solo fattore.
23.2. Specificazione errata delle relazioni tra indicatori e fattori latenti#
Un’altra potenziale fonte di errata specificazione del modello CFA è una designazione errata delle relazioni tra indicatori e fattori latenti.
In questo esempio, un ricercatore ha sviluppato un questionario di 12 item (gli item sono valutati su scale da 0 a 8) progettato per valutare le motivazioni dei giovani adulti a consumare bevande alcoliche (Cooper, 1994). La misura aveva lo scopo di valutare tre aspetti di questo costrutto (4 item ciascuno): (1) motivazioni di coping (item 1–4), (2) motivazioni sociali (item 5–8) e (3) motivazioni di miglioramento (item 9 –12). I dati sono i seguenti.
sds <- c(2.06, 1.52, 1.92, 1.41, 1.73, 1.77, 2.49, 2.27, 2.68, 1.75, 2.57, 2.66)
cors <- '
1.000
0.300 1.000
0.229 0.261 1.000
0.411 0.406 0.429 1.000
0.172 0.252 0.218 0.481 1.000
0.214 0.268 0.267 0.579 0.484 1.000
0.200 0.214 0.241 0.543 0.426 0.492 1.000
0.185 0.230 0.185 0.545 0.463 0.548 0.522 1.000
0.134 0.146 0.108 0.186 0.122 0.131 0.108 0.151 1.000
0.134 0.099 0.061 0.223 0.133 0.188 0.105 0.170 0.448 1.000
0.160 0.131 0.158 0.161 0.044 0.124 0.066 0.061 0.370 0.350 1.000
0.087 0.088 0.101 0.198 0.077 0.177 0.128 0.112 0.356 0.359 0.507 1.000'
covs <- getCov(cors, sds = sds, names = paste("x", 1:12, sep = ""))
Iniziamo con un modello che ipotizza tre fattori comuni latenti correlati, coerentemente con la motivazione che stava alla base della costruzione dello strumento.
model1 <- '
copingm =~ x1 + x2 + x3 + x4
socialm =~ x5 + x6 + x7 + x8
enhancem =~ x9 + x10 + x11 + x12
'
Adattiamo il modello ai dati.
fit1 <- cfa(
model1,
sample.cov = covs,
sample.nobs = 500,
mimic = "mplus"
)
Warning message in lavaan::lavaan(model = model1, sample.cov = covs, sample.nobs = 500, :
“lavaan WARNING:
sample.mean= argument is missing, but model contains
mean/intercept parameters.”
Esaminando le misure di adattamento potremmo concludere che il modello è adeguato.
print(effectsize::interpret(fit1))
Name Value Threshold Interpretation
1 GFI 0.97009178 0.95 satisfactory
2 AGFI 0.94722078 0.90 satisfactory
3 NFI 0.94785001 0.90 satisfactory
4 NNFI 0.97102541 0.90 satisfactory
5 CFI 0.97761054 0.90 satisfactory
6 RMSEA 0.03745791 0.05 satisfactory
7 SRMR 0.03438699 0.08 satisfactory
8 RFI 0.93251177 0.90 satisfactory
9 PNFI 0.73242955 0.50 satisfactory
10 IFI 0.97781875 0.90 satisfactory
Tuttavia, un esame più attento mette in evidenza un comportamento anomalo dell’item x4 e alcune caratteristiche anomale del modello in generale.
print(standardizedSolution(fit1))
lhs op rhs est.std se z pvalue ci.lower ci.upper
1 copingm =~ x1 0.432 0.039 11.030 0.00 0.355 0.508
2 copingm =~ x2 0.436 0.039 11.174 0.00 0.359 0.512
3 copingm =~ x3 0.451 0.038 11.730 0.00 0.376 0.527
4 copingm =~ x4 0.953 0.024 38.967 0.00 0.905 1.001
5 socialm =~ x5 0.633 0.032 20.064 0.00 0.571 0.695
6 socialm =~ x6 0.748 0.025 29.363 0.00 0.698 0.798
7 socialm =~ x7 0.690 0.029 24.154 0.00 0.634 0.746
8 socialm =~ x8 0.729 0.026 27.519 0.00 0.677 0.781
9 enhancem =~ x9 0.602 0.039 15.581 0.00 0.526 0.678
10 enhancem =~ x10 0.597 0.039 15.397 0.00 0.521 0.673
11 enhancem =~ x11 0.661 0.037 17.982 0.00 0.589 0.733
12 enhancem =~ x12 0.665 0.037 18.167 0.00 0.593 0.737
13 x1 ~~ x1 0.814 0.034 24.085 0.00 0.747 0.880
14 x2 ~~ x2 0.810 0.034 23.837 0.00 0.744 0.877
15 x3 ~~ x3 0.796 0.035 22.938 0.00 0.728 0.864
16 x4 ~~ x4 0.091 0.047 1.959 0.05 0.000 0.183
17 x5 ~~ x5 0.599 0.040 14.985 0.00 0.521 0.677
18 x6 ~~ x6 0.441 0.038 11.573 0.00 0.366 0.515
19 x7 ~~ x7 0.524 0.039 13.293 0.00 0.447 0.601
20 x8 ~~ x8 0.469 0.039 12.151 0.00 0.393 0.545
21 x9 ~~ x9 0.638 0.047 13.707 0.00 0.546 0.729
22 x10 ~~ x10 0.643 0.046 13.875 0.00 0.552 0.734
23 x11 ~~ x11 0.563 0.049 11.605 0.00 0.468 0.659
24 x12 ~~ x12 0.558 0.049 11.447 0.00 0.462 0.653
25 copingm ~~ copingm 1.000 0.000 NA NA 1.000 1.000
26 socialm ~~ socialm 1.000 0.000 NA NA 1.000 1.000
27 enhancem ~~ enhancem 1.000 0.000 NA NA 1.000 1.000
28 copingm ~~ socialm 0.799 0.031 26.150 0.00 0.739 0.859
29 copingm ~~ enhancem 0.322 0.051 6.336 0.00 0.222 0.422
30 socialm ~~ enhancem 0.268 0.056 4.817 0.00 0.159 0.377
31 x1 ~1 0.000 0.045 0.000 1.00 -0.088 0.088
32 x2 ~1 0.000 0.045 0.000 1.00 -0.088 0.088
33 x3 ~1 0.000 0.045 0.000 1.00 -0.088 0.088
34 x4 ~1 0.000 0.045 0.000 1.00 -0.088 0.088
35 x5 ~1 0.000 0.045 0.000 1.00 -0.088 0.088
36 x6 ~1 0.000 0.045 0.000 1.00 -0.088 0.088
37 x7 ~1 0.000 0.045 0.000 1.00 -0.088 0.088
38 x8 ~1 0.000 0.045 0.000 1.00 -0.088 0.088
39 x9 ~1 0.000 0.045 0.000 1.00 -0.088 0.088
40 x10 ~1 0.000 0.045 0.000 1.00 -0.088 0.088
41 x11 ~1 0.000 0.045 0.000 1.00 -0.088 0.088
42 x12 ~1 0.000 0.045 0.000 1.00 -0.088 0.088
43 copingm ~1 0.000 0.000 NA NA 0.000 0.000
44 socialm ~1 0.000 0.000 NA NA 0.000 0.000
45 enhancem ~1 0.000 0.000 NA NA 0.000 0.000
In particolare, l’item x4 mostra una saturazione molto forte sul fattore Motivi di coping (.955) ed emerge una correlazione molto alta tra i fattori Motivi di coping e Motivi sociali (.798).
Brown [Bro15] suggerisce di esaminare i Modification Indices. Tale esame mostra che il MI associato a x4 è molto alto, 18.916.
print(modindices(fit1))
lhs op rhs mi epc sepc.lv sepc.all sepc.nox
46 copingm =~ x5 0.030 -0.030 -0.027 -0.015 -0.015
47 copingm =~ x6 0.484 0.127 0.113 0.064 0.064
48 copingm =~ x7 0.780 0.220 0.196 0.079 0.079
49 copingm =~ x8 1.962 -0.323 -0.287 -0.127 -0.127
50 copingm =~ x9 0.101 0.044 0.039 0.015 0.015
51 copingm =~ x10 2.016 0.129 0.114 0.065 0.065
52 copingm =~ x11 1.870 -0.181 -0.161 -0.063 -0.063
53 copingm =~ x12 0.040 -0.027 -0.024 -0.009 -0.009
54 socialm =~ x1 6.927 -0.520 -0.569 -0.277 -0.277
55 socialm =~ x2 0.052 -0.033 -0.036 -0.024 -0.024
56 socialm =~ x3 2.058 -0.267 -0.292 -0.152 -0.152
57 socialm =~ x4 18.916 1.300 1.423 1.010 1.010
58 socialm =~ x9 0.338 0.067 0.073 0.027 0.027
59 socialm =~ x10 2.884 0.128 0.140 0.080 0.080
60 socialm =~ x11 4.357 -0.229 -0.251 -0.098 -0.098
61 socialm =~ x12 0.001 0.004 0.004 0.002 0.002
62 enhancem =~ x1 1.954 0.093 0.149 0.072 0.072
63 enhancem =~ x2 0.863 0.045 0.073 0.048 0.048
64 enhancem =~ x3 0.380 0.038 0.061 0.032 0.032
65 enhancem =~ x4 3.102 -0.104 -0.168 -0.119 -0.119
66 enhancem =~ x5 0.596 -0.039 -0.063 -0.036 -0.036
67 enhancem =~ x6 2.495 0.078 0.125 0.071 0.071
68 enhancem =~ x7 0.539 -0.052 -0.084 -0.034 -0.034
69 enhancem =~ x8 0.093 -0.019 -0.031 -0.014 -0.014
70 x1 ~~ x2 10.299 0.379 0.379 0.149 0.149
71 x1 ~~ x3 0.986 0.147 0.147 0.046 0.046
72 x1 ~~ x4 0.016 -0.015 -0.015 -0.019 -0.019
73 x1 ~~ x5 0.452 -0.080 -0.080 -0.032 -0.032
74 x1 ~~ x6 0.484 -0.078 -0.078 -0.036 -0.036
75 x1 ~~ x7 0.290 -0.089 -0.089 -0.027 -0.027
76 x1 ~~ x8 1.535 -0.181 -0.181 -0.063 -0.063
77 x1 ~~ x9 0.468 0.133 0.133 0.034 0.034
78 x1 ~~ x10 0.067 0.033 0.033 0.013 0.013
79 x1 ~~ x11 4.030 0.364 0.364 0.102 0.102
80 x1 ~~ x12 1.504 -0.229 -0.229 -0.062 -0.062
81 x2 ~~ x3 3.508 0.205 0.205 0.088 0.088
82 x2 ~~ x4 6.780 -0.229 -0.229 -0.393 -0.393
83 x2 ~~ x5 1.449 0.106 0.106 0.058 0.058
84 x2 ~~ x6 0.102 0.026 0.026 0.016 0.016
85 x2 ~~ x7 1.144 -0.130 -0.130 -0.053 -0.053
86 x2 ~~ x8 0.366 -0.065 -0.065 -0.031 -0.031
87 x2 ~~ x9 1.877 0.196 0.196 0.067 0.067
88 x2 ~~ x10 0.434 -0.062 -0.062 -0.032 -0.032
89 x2 ~~ x11 1.599 0.169 0.169 0.064 0.064
90 x2 ~~ x12 0.726 -0.117 -0.117 -0.043 -0.043
91 x3 ~~ x4 0.107 -0.037 -0.037 -0.051 -0.051
92 x3 ~~ x5 0.024 0.017 0.017 0.008 0.008
93 x3 ~~ x6 0.211 0.048 0.048 0.024 0.024
94 x3 ~~ x7 0.009 0.015 0.015 0.005 0.005
95 x3 ~~ x8 5.281 -0.310 -0.310 -0.117 -0.117
96 x3 ~~ x9 0.031 0.031 0.031 0.009 0.009
97 x3 ~~ x10 3.545 -0.221 -0.221 -0.092 -0.092
98 x3 ~~ x11 5.967 0.408 0.408 0.124 0.124
99 x3 ~~ x12 0.055 -0.040 -0.040 -0.012 -0.012
100 x4 ~~ x5 0.063 -0.016 -0.016 -0.028 -0.028
101 x4 ~~ x6 0.052 0.015 0.015 0.029 0.029
102 x4 ~~ x7 2.114 0.131 0.131 0.170 0.170
103 x4 ~~ x8 0.208 0.037 0.037 0.057 0.057
104 x4 ~~ x9 0.887 -0.091 -0.091 -0.100 -0.100
105 x4 ~~ x10 1.063 0.065 0.065 0.109 0.109
106 x4 ~~ x11 2.637 -0.149 -0.149 -0.181 -0.181
107 x4 ~~ x12 0.169 0.039 0.039 0.046 0.046
108 x5 ~~ x6 0.370 0.057 0.057 0.036 0.036
109 x5 ~~ x7 0.292 -0.072 -0.072 -0.030 -0.030
110 x5 ~~ x8 0.007 0.010 0.010 0.005 0.005
111 x5 ~~ x9 0.822 0.133 0.133 0.047 0.047
112 x5 ~~ x10 0.339 0.056 0.056 0.030 0.030
113 x5 ~~ x11 1.126 -0.145 -0.145 -0.056 -0.056
114 x5 ~~ x12 1.143 -0.151 -0.151 -0.057 -0.057
115 x6 ~~ x7 2.528 -0.215 -0.215 -0.101 -0.101
116 x6 ~~ x8 0.053 0.029 0.029 0.016 0.016
117 x6 ~~ x9 1.056 -0.141 -0.141 -0.056 -0.056
118 x6 ~~ x10 0.598 0.069 0.069 0.042 0.042
119 x6 ~~ x11 0.248 0.064 0.064 0.028 0.028
120 x6 ~~ x12 1.667 0.170 0.170 0.073 0.073
121 x7 ~~ x8 1.431 0.206 0.206 0.074 0.074
122 x7 ~~ x9 0.032 -0.036 -0.036 -0.009 -0.009
123 x7 ~~ x10 1.521 -0.163 -0.163 -0.065 -0.065
124 x7 ~~ x11 0.263 -0.097 -0.097 -0.028 -0.028
125 x7 ~~ x12 0.637 0.156 0.156 0.044 0.044
126 x8 ~~ x9 1.621 0.227 0.227 0.068 0.068
127 x8 ~~ x10 1.311 0.134 0.134 0.061 0.061
128 x8 ~~ x11 2.144 -0.244 -0.244 -0.081 -0.081
129 x8 ~~ x12 0.591 -0.132 -0.132 -0.043 -0.043
130 x9 ~~ x10 19.846 0.862 0.862 0.288 0.288
131 x9 ~~ x11 2.908 -0.518 -0.518 -0.126 -0.126
132 x9 ~~ x12 7.696 -0.876 -0.876 -0.207 -0.207
133 x10 ~~ x11 7.331 -0.534 -0.534 -0.197 -0.197
134 x10 ~~ x12 5.572 -0.484 -0.484 -0.174 -0.174
135 x11 ~~ x12 26.947 1.711 1.711 0.447 0.447
Le considerazioni precedenti, dunque, suggeriscono che il modello potrebbe non avere descritto in maniera adeguata le relazioni tra x4 e i fattori comuni latenti. In base a considerazioni teoriche, supponiamo che abbia senso pensare che x4 saturi non solo sul fattore Motivi di coping ma anche sul fattore di Motivi Sociali. Specifichiamo dunque un nuovo modello nel modo seguente.
model2 <- '
copingm =~ x1 + x2 + x3 + x4
socialm =~ x4 + x5 + x6 + x7 + x8
enhancem =~ x9 + x10 + x11 + x12
'
Adattiamo il modello.
fit2 <- cfa(
model2,
sample.cov = covs,
sample.nobs = 500,
mimic = "mplus"
)
Warning message in lavaan::lavaan(model = model2, sample.cov = covs, sample.nobs = 500, :
“lavaan WARNING:
sample.mean= argument is missing, but model contains
mean/intercept parameters.”
Esaminiamo gli indici di bontà di adattamento.
print(effectsize::interpret(fit2))
Name Value Threshold Interpretation
1 GFI 0.97684139 0.95 satisfactory
2 AGFI 0.95831451 0.90 satisfactory
3 NFI 0.95826773 0.90 satisfactory
4 NNFI 0.98393923 0.90 satisfactory
5 CFI 0.98783275 0.90 satisfactory
6 RMSEA 0.02788804 0.05 satisfactory
7 SRMR 0.02887855 0.08 satisfactory
8 RFI 0.94491340 0.90 satisfactory
9 PNFI 0.72596040 0.50 satisfactory
10 IFI 0.98795337 0.90 satisfactory
La bontà di adattamento è migliorata.
Esaminiamo la soluzione standardizzata. Vediamo ora che sono scomparse le due anomalie trovate in precedenza.
print(standardizedSolution(fit2))
lhs op rhs est.std se z pvalue ci.lower ci.upper
1 copingm =~ x1 0.514 0.043 12.034 0 0.430 0.597
2 copingm =~ x2 0.515 0.043 12.072 0 0.431 0.599
3 copingm =~ x3 0.516 0.043 12.106 0 0.432 0.600
4 copingm =~ x4 0.538 0.062 8.660 0 0.416 0.660
5 socialm =~ x4 0.439 0.061 7.204 0 0.320 0.558
6 socialm =~ x5 0.632 0.032 19.995 0 0.570 0.694
7 socialm =~ x6 0.746 0.025 29.279 0 0.696 0.796
8 socialm =~ x7 0.691 0.028 24.235 0 0.635 0.746
9 socialm =~ x8 0.731 0.026 27.762 0 0.679 0.782
10 enhancem =~ x9 0.603 0.039 15.625 0 0.527 0.678
11 enhancem =~ x10 0.595 0.039 15.308 0 0.519 0.671
12 enhancem =~ x11 0.665 0.037 18.188 0 0.593 0.737
13 enhancem =~ x12 0.663 0.037 18.103 0 0.591 0.735
14 x1 ~~ x1 0.736 0.044 16.786 0 0.650 0.822
15 x2 ~~ x2 0.735 0.044 16.729 0 0.649 0.821
16 x3 ~~ x3 0.734 0.044 16.678 0 0.647 0.820
17 x4 ~~ x4 0.230 0.037 6.292 0 0.158 0.301
18 x5 ~~ x5 0.601 0.040 15.043 0 0.522 0.679
19 x6 ~~ x6 0.443 0.038 11.634 0 0.368 0.517
20 x7 ~~ x7 0.523 0.039 13.292 0 0.446 0.600
21 x8 ~~ x8 0.466 0.038 12.106 0 0.390 0.541
22 x9 ~~ x9 0.637 0.046 13.701 0 0.546 0.728
23 x10 ~~ x10 0.646 0.046 13.990 0 0.556 0.737
24 x11 ~~ x11 0.558 0.049 11.474 0 0.463 0.653
25 x12 ~~ x12 0.561 0.049 11.546 0 0.465 0.656
26 copingm ~~ copingm 1.000 0.000 NA NA 1.000 1.000
27 socialm ~~ socialm 1.000 0.000 NA NA 1.000 1.000
28 enhancem ~~ enhancem 1.000 0.000 NA NA 1.000 1.000
29 copingm ~~ socialm 0.610 0.057 10.744 0 0.498 0.721
30 copingm ~~ enhancem 0.350 0.059 5.964 0 0.235 0.465
31 socialm ~~ enhancem 0.265 0.055 4.794 0 0.156 0.373
32 x1 ~1 0.000 0.045 0.000 1 -0.088 0.088
33 x2 ~1 0.000 0.045 0.000 1 -0.088 0.088
34 x3 ~1 0.000 0.045 0.000 1 -0.088 0.088
35 x4 ~1 0.000 0.045 0.000 1 -0.088 0.088
36 x5 ~1 0.000 0.045 0.000 1 -0.088 0.088
37 x6 ~1 0.000 0.045 0.000 1 -0.088 0.088
38 x7 ~1 0.000 0.045 0.000 1 -0.088 0.088
39 x8 ~1 0.000 0.045 0.000 1 -0.088 0.088
40 x9 ~1 0.000 0.045 0.000 1 -0.088 0.088
41 x10 ~1 0.000 0.045 0.000 1 -0.088 0.088
42 x11 ~1 0.000 0.045 0.000 1 -0.088 0.088
43 x12 ~1 0.000 0.045 0.000 1 -0.088 0.088
44 copingm ~1 0.000 0.000 NA NA 0.000 0.000
45 socialm ~1 0.000 0.000 NA NA 0.000 0.000
46 enhancem ~1 0.000 0.000 NA NA 0.000 0.000
Esaminando i MI, notiamo che il modello potrebbe migliorare se introduciamo una correlazione tra le specificità x11 e x12.
print(modindices(fit2))
lhs op rhs mi epc sepc.lv sepc.all sepc.nox
47 copingm =~ x5 0.076 0.032 0.034 0.020 0.020
48 copingm =~ x6 1.413 0.143 0.151 0.086 0.086
49 copingm =~ x7 0.245 0.083 0.088 0.035 0.035
50 copingm =~ x8 3.668 -0.295 -0.311 -0.137 -0.137
51 copingm =~ x9 0.243 0.066 0.069 0.026 0.026
52 copingm =~ x10 0.566 0.065 0.069 0.040 0.040
53 copingm =~ x11 0.119 -0.044 -0.046 -0.018 -0.018
54 copingm =~ x12 0.598 -0.102 -0.108 -0.041 -0.041
55 socialm =~ x1 1.948 -0.396 -0.245 -0.119 -0.119
56 socialm =~ x2 0.718 0.177 0.110 0.072 0.072
57 socialm =~ x3 0.298 0.144 0.089 0.047 0.047
58 socialm =~ x9 0.316 0.114 0.071 0.026 0.026
59 socialm =~ x10 3.169 0.236 0.146 0.084 0.084
60 socialm =~ x11 4.927 -0.430 -0.266 -0.104 -0.104
61 socialm =~ x12 0.017 0.026 0.016 0.006 0.006
62 enhancem =~ x1 0.314 0.040 0.064 0.031 0.031
63 enhancem =~ x2 0.003 0.003 0.004 0.003 0.003
64 enhancem =~ x3 0.037 -0.013 -0.020 -0.011 -0.011
65 enhancem =~ x4 0.106 -0.013 -0.021 -0.015 -0.015
66 enhancem =~ x5 0.464 -0.034 -0.055 -0.032 -0.032
67 enhancem =~ x6 2.703 0.079 0.128 0.072 0.072
68 enhancem =~ x7 0.467 -0.048 -0.077 -0.031 -0.031
69 enhancem =~ x8 0.095 -0.019 -0.031 -0.014 -0.014
70 x1 ~~ x2 1.966 0.187 0.187 0.081 0.081
71 x1 ~~ x3 2.042 -0.241 -0.241 -0.083 -0.083
72 x1 ~~ x4 0.775 0.098 0.098 0.082 0.082
73 x1 ~~ x5 0.238 -0.058 -0.058 -0.024 -0.024
74 x1 ~~ x6 0.187 -0.048 -0.048 -0.023 -0.023
75 x1 ~~ x7 0.019 -0.022 -0.022 -0.007 -0.007
76 x1 ~~ x8 0.366 -0.087 -0.087 -0.032 -0.032
77 x1 ~~ x9 0.155 0.076 0.076 0.020 0.020
78 x1 ~~ x10 0.104 0.041 0.041 0.016 0.016
79 x1 ~~ x11 2.019 0.255 0.255 0.075 0.075
80 x1 ~~ x12 1.911 -0.257 -0.257 -0.073 -0.073
81 x2 ~~ x3 0.035 -0.023 -0.023 -0.011 -0.011
82 x2 ~~ x4 3.029 -0.144 -0.144 -0.163 -0.163
83 x2 ~~ x5 2.503 0.138 0.138 0.079 0.079
84 x2 ~~ x6 0.509 0.058 0.058 0.038 0.038
85 x2 ~~ x7 0.471 -0.082 -0.082 -0.035 -0.035
86 x2 ~~ x8 0.015 0.013 0.013 0.006 0.006
87 x2 ~~ x9 1.289 0.161 0.161 0.058 0.058
88 x2 ~~ x10 0.467 -0.064 -0.064 -0.035 -0.035
89 x2 ~~ x11 0.338 0.077 0.077 0.031 0.031
90 x2 ~~ x12 0.970 -0.135 -0.135 -0.052 -0.052
91 x3 ~~ x4 1.095 0.109 0.109 0.098 0.098
92 x3 ~~ x5 0.169 0.045 0.045 0.021 0.021
93 x3 ~~ x6 0.681 0.085 0.085 0.044 0.044
94 x3 ~~ x7 0.315 0.085 0.085 0.029 0.029
95 x3 ~~ x8 3.075 -0.235 -0.235 -0.092 -0.092
96 x3 ~~ x9 0.022 -0.026 -0.026 -0.008 -0.008
97 x3 ~~ x10 3.825 -0.230 -0.230 -0.100 -0.100
98 x3 ~~ x11 3.498 0.313 0.313 0.099 0.099
99 x3 ~~ x12 0.079 -0.049 -0.049 -0.015 -0.015
100 x4 ~~ x5 0.337 -0.037 -0.037 -0.041 -0.041
101 x4 ~~ x6 0.033 -0.012 -0.012 -0.015 -0.015
102 x4 ~~ x7 1.053 0.094 0.094 0.077 0.077
103 x4 ~~ x8 0.071 -0.022 -0.022 -0.021 -0.021
104 x4 ~~ x9 0.541 -0.070 -0.070 -0.048 -0.048
105 x4 ~~ x10 1.128 0.066 0.066 0.070 0.070
106 x4 ~~ x11 1.313 -0.102 -0.102 -0.079 -0.079
107 x4 ~~ x12 0.322 0.052 0.052 0.039 0.039
108 x5 ~~ x6 0.504 0.066 0.066 0.042 0.042
109 x5 ~~ x7 0.262 -0.068 -0.068 -0.028 -0.028
110 x5 ~~ x8 0.004 0.008 0.008 0.004 0.004
111 x5 ~~ x9 0.850 0.135 0.135 0.047 0.047
112 x5 ~~ x10 0.288 0.052 0.052 0.027 0.027
113 x5 ~~ x11 1.019 -0.138 -0.138 -0.054 -0.054
114 x5 ~~ x12 1.224 -0.157 -0.157 -0.059 -0.059
115 x6 ~~ x7 2.404 -0.209 -0.209 -0.099 -0.099
116 x6 ~~ x8 0.034 0.023 0.023 0.012 0.012
117 x6 ~~ x9 0.978 -0.135 -0.135 -0.054 -0.054
118 x6 ~~ x10 0.524 0.065 0.065 0.039 0.039
119 x6 ~~ x11 0.341 0.074 0.074 0.033 0.033
120 x6 ~~ x12 1.520 0.163 0.163 0.069 0.069
121 x7 ~~ x8 1.171 0.186 0.186 0.067 0.067
122 x7 ~~ x9 0.020 -0.028 -0.028 -0.007 -0.007
123 x7 ~~ x10 1.593 -0.167 -0.167 -0.066 -0.066
124 x7 ~~ x11 0.175 -0.079 -0.079 -0.023 -0.023
125 x7 ~~ x12 0.586 0.149 0.149 0.042 0.042
126 x8 ~~ x9 1.808 0.239 0.239 0.072 0.072
127 x8 ~~ x10 1.267 0.131 0.131 0.060 0.060
128 x8 ~~ x11 1.791 -0.222 -0.222 -0.075 -0.075
129 x8 ~~ x12 0.595 -0.132 -0.132 -0.043 -0.043
130 x9 ~~ x10 20.103 0.864 0.864 0.288 0.288
131 x9 ~~ x11 3.658 -0.582 -0.582 -0.142 -0.142
132 x9 ~~ x12 7.229 -0.845 -0.845 -0.199 -0.199
133 x10 ~~ x11 7.617 -0.543 -0.543 -0.201 -0.201
134 x10 ~~ x12 4.512 -0.431 -0.431 -0.154 -0.154
135 x11 ~~ x12 26.071 1.680 1.680 0.440 0.440
Il nuovo modello diventa dunque il seguente.
model3 <- '
copingm =~ x1 + x2 + x3 + x4
socialm =~ x4 + x5 + x6 + x7 + x8
enhancem =~ x9 + x10 + x11 + x12
x11 ~~ x12
'
Adattiamo il modello.
fit3 <- cfa(
model3,
sample.cov = covs,
sample.nobs = 500,
mimic = "mplus"
)
Warning message in lavaan::lavaan(model = model3, sample.cov = covs, sample.nobs = 500, :
“lavaan WARNING:
sample.mean= argument is missing, but model contains
mean/intercept parameters.”
Un test basato sul rapporto di verosimiglianze conferma che il miglioramento di adattamento è sostanziale.
print(lavTestLRT(fit2, fit3))
Chi-Squared Difference Test
Df AIC BIC Chisq Chisq diff RMSEA Df diff Pr(>Chisq)
fit3 49 23934 24107 44.955
fit2 50 23957 24125 69.444 24.488 0.21674 1 7.477e-07 ***
---
Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
Esaminiamo gli indici di bontà di adattamento.
print(summary(fit3, fit.measures = TRUE))
lavaan 0.6.15 ended normally after 61 iterations
Estimator ML
Optimization method NLMINB
Number of model parameters 41
Number of observations 500
Model Test User Model:
Test statistic 44.955
Degrees of freedom 49
P-value (Chi-square) 0.638
Model Test Baseline Model:
Test statistic 1664.026
Degrees of freedom 66
P-value 0.000
User Model versus Baseline Model:
Comparative Fit Index (CFI) 1.000
Tucker-Lewis Index (TLI) 1.003
Loglikelihood and Information Criteria:
Loglikelihood user model (H0) -11926.170
Loglikelihood unrestricted model (H1) -11903.692
Akaike (AIC) 23934.339
Bayesian (BIC) 24107.138
Sample-size adjusted Bayesian (SABIC) 23977.002
Root Mean Square Error of Approximation:
RMSEA 0.000
90 Percent confidence interval - lower 0.000
90 Percent confidence interval - upper 0.025
P-value H_0: RMSEA <= 0.050 1.000
P-value H_0: RMSEA >= 0.080 0.000
Standardized Root Mean Square Residual:
SRMR 0.023
Parameter Estimates:
Standard errors Standard
Information Expected
Information saturated (h1) model Structured
Latent Variables:
Estimate Std.Err z-value P(>|z|)
copingm =~
x1 1.000
x2 0.740 0.094 7.909 0.000
x3 0.933 0.118 7.903 0.000
x4 0.719 0.118 6.070 0.000
socialm =~
x4 1.000
x5 1.771 0.273 6.485 0.000
x6 2.141 0.319 6.703 0.000
x7 2.784 0.421 6.611 0.000
x8 2.689 0.402 6.681 0.000
enhancem =~
x9 1.000
x10 0.648 0.070 9.293 0.000
x11 0.776 0.093 8.340 0.000
x12 0.802 0.096 8.327 0.000
Covariances:
Estimate Std.Err z-value P(>|z|)
.x11 ~~
.x12 1.460 0.300 4.873 0.000
copingm ~~
socialm 0.398 0.071 5.603 0.000
enhancem 0.669 0.145 4.613 0.000
socialm ~~
enhancem 0.320 0.084 3.783 0.000
Intercepts:
Estimate Std.Err z-value P(>|z|)
.x1 0.000 0.092 0.000 1.000
.x2 0.000 0.068 0.000 1.000
.x3 0.000 0.086 0.000 1.000
.x4 0.000 0.063 0.000 1.000
.x5 0.000 0.077 0.000 1.000
.x6 0.000 0.079 0.000 1.000
.x7 0.000 0.111 0.000 1.000
.x8 0.000 0.101 0.000 1.000
.x9 0.000 0.120 0.000 1.000
.x10 0.000 0.078 0.000 1.000
.x11 0.000 0.115 0.000 1.000
.x12 0.000 0.119 0.000 1.000
copingm 0.000
socialm 0.000
enhancem 0.000
Variances:
Estimate Std.Err z-value P(>|z|)
.x1 3.117 0.230 13.546 0.000
.x2 1.694 0.125 13.527 0.000
.x3 2.705 0.200 13.536 0.000
.x4 0.454 0.070 6.502 0.000
.x5 1.794 0.130 13.835 0.000
.x6 1.384 0.115 12.015 0.000
.x7 3.240 0.248 13.089 0.000
.x8 2.393 0.194 12.352 0.000
.x9 3.958 0.400 9.895 0.000
.x10 1.710 0.170 10.063 0.000
.x11 4.657 0.371 12.545 0.000
.x12 4.997 0.398 12.561 0.000
copingm 1.118 0.217 5.158 0.000
socialm 0.380 0.110 3.469 0.001
enhancem 3.210 0.490 6.550 0.000
Gli indici di fit sono migliorati.
Esaminiamo la soluzione standardizzata.
print(standardizedSolution(fit3))
lhs op rhs est.std se z pvalue ci.lower ci.upper
1 copingm =~ x1 0.514 0.043 12.016 0 0.430 0.598
2 copingm =~ x2 0.515 0.043 12.055 0 0.431 0.599
3 copingm =~ x3 0.514 0.043 12.037 0 0.431 0.598
4 copingm =~ x4 0.540 0.063 8.609 0 0.417 0.663
5 socialm =~ x4 0.438 0.061 7.129 0 0.317 0.558
6 socialm =~ x5 0.632 0.032 20.004 0 0.570 0.694
7 socialm =~ x6 0.746 0.025 29.291 0 0.697 0.796
8 socialm =~ x7 0.690 0.029 24.206 0 0.634 0.746
9 socialm =~ x8 0.731 0.026 27.800 0 0.680 0.783
10 enhancem =~ x9 0.669 0.041 16.388 0 0.589 0.749
11 enhancem =~ x10 0.664 0.041 16.243 0 0.584 0.744
12 enhancem =~ x11 0.542 0.045 12.120 0 0.454 0.629
13 enhancem =~ x12 0.541 0.045 12.083 0 0.453 0.628
14 x11 ~~ x12 0.303 0.050 6.097 0 0.205 0.400
15 x1 ~~ x1 0.736 0.044 16.757 0 0.650 0.822
16 x2 ~~ x2 0.735 0.044 16.697 0 0.649 0.821
17 x3 ~~ x3 0.735 0.044 16.726 0 0.649 0.822
18 x4 ~~ x4 0.229 0.037 6.223 0 0.157 0.301
19 x5 ~~ x5 0.601 0.040 15.043 0 0.522 0.679
20 x6 ~~ x6 0.443 0.038 11.636 0 0.368 0.517
21 x7 ~~ x7 0.524 0.039 13.307 0 0.447 0.601
22 x8 ~~ x8 0.465 0.038 12.099 0 0.390 0.541
23 x9 ~~ x9 0.552 0.055 10.104 0 0.445 0.659
24 x10 ~~ x10 0.559 0.054 10.314 0 0.453 0.666
25 x11 ~~ x11 0.706 0.048 14.582 0 0.611 0.801
26 x12 ~~ x12 0.708 0.048 14.622 0 0.613 0.802
27 copingm ~~ copingm 1.000 0.000 NA NA 1.000 1.000
28 socialm ~~ socialm 1.000 0.000 NA NA 1.000 1.000
29 enhancem ~~ enhancem 1.000 0.000 NA NA 1.000 1.000
30 copingm ~~ socialm 0.610 0.057 10.735 0 0.499 0.721
31 copingm ~~ enhancem 0.353 0.060 5.844 0 0.235 0.472
32 socialm ~~ enhancem 0.289 0.056 5.141 0 0.179 0.399
33 x1 ~1 0.000 0.045 0.000 1 -0.088 0.088
34 x2 ~1 0.000 0.045 0.000 1 -0.088 0.088
35 x3 ~1 0.000 0.045 0.000 1 -0.088 0.088
36 x4 ~1 0.000 0.045 0.000 1 -0.088 0.088
37 x5 ~1 0.000 0.045 0.000 1 -0.088 0.088
38 x6 ~1 0.000 0.045 0.000 1 -0.088 0.088
39 x7 ~1 0.000 0.045 0.000 1 -0.088 0.088
40 x8 ~1 0.000 0.045 0.000 1 -0.088 0.088
41 x9 ~1 0.000 0.045 0.000 1 -0.088 0.088
42 x10 ~1 0.000 0.045 0.000 1 -0.088 0.088
43 x11 ~1 0.000 0.045 0.000 1 -0.088 0.088
44 x12 ~1 0.000 0.045 0.000 1 -0.088 0.088
45 copingm ~1 0.000 0.000 NA NA 0.000 0.000
46 socialm ~1 0.000 0.000 NA NA 0.000 0.000
47 enhancem ~1 0.000 0.000 NA NA 0.000 0.000
Non ci sono ulteriori motivi di preoccupazione. Brown [Bro15] conclude che il modello più adeguato sia model3.
Nel caso presente, a mio parare, l’introduzione della correlazione residua tra x11 e x12 si sarebbe anche potuta evitare, dato che il modello model3 (con meno idiosincrasie legate al campione) si era già dimostrato adeguato.
23.3. Saturazione sul fattore sbagliato#
Brown [Bro15] considera anche il caso opposto, ovvero quello nel quale il ricercatore ipotizza una saturazione spuria. Per i dati in discussione, si può avere la situazione presente.
model4 <- '
copingm =~ x1 + x2 + x3 + x4
socialm =~ x4 +x5 + x6 + x7 + x8 + x12
enhancem =~ x9 + x10 + x11
'
Adattiamo il modello ai dati.
fit4 <- cfa(
model4,
sample.cov = covs,
sample.nobs = 500,
mimic = "mplus"
)
Warning message in lavaan::lavaan(model = model4, sample.cov = covs, sample.nobs = 500, :
“lavaan WARNING:
sample.mean= argument is missing, but model contains
mean/intercept parameters.”
Esaminiamo la soluzione ottenuta.
print(summary(fit4, fit.measures = TRUE))
lavaan 0.6.15 ended normally after 59 iterations
Estimator ML
Optimization method NLMINB
Number of model parameters 40
Number of observations 500
Model Test User Model:
Test statistic 212.717
Degrees of freedom 50
P-value (Chi-square) 0.000
Model Test Baseline Model:
Test statistic 1664.026
Degrees of freedom 66
P-value 0.000
User Model versus Baseline Model:
Comparative Fit Index (CFI) 0.898
Tucker-Lewis Index (TLI) 0.866
Loglikelihood and Information Criteria:
Loglikelihood user model (H0) -12010.051
Loglikelihood unrestricted model (H1) -11903.692
Akaike (AIC) 24100.101
Bayesian (BIC) 24268.685
Sample-size adjusted Bayesian (SABIC) 24141.723
Root Mean Square Error of Approximation:
RMSEA 0.081
90 Percent confidence interval - lower 0.070
90 Percent confidence interval - upper 0.092
P-value H_0: RMSEA <= 0.050 0.000
P-value H_0: RMSEA >= 0.080 0.554
Standardized Root Mean Square Residual:
SRMR 0.073
Parameter Estimates:
Standard errors Standard
Information Expected
Information saturated (h1) model Structured
Latent Variables:
Estimate Std.Err z-value P(>|z|)
copingm =~
x1 1.000
x2 0.741 0.093 7.925 0.000
x3 0.932 0.118 7.906 0.000
x4 0.699 0.117 5.995 0.000
socialm =~
x4 1.000
x5 1.725 0.260 6.634 0.000
x6 2.098 0.305 6.879 0.000
x7 2.717 0.401 6.775 0.000
x8 2.619 0.382 6.848 0.000
x12 0.900 0.236 3.818 0.000
enhancem =~
x9 1.000
x10 0.638 0.076 8.408 0.000
x11 0.767 0.094 8.153 0.000
Covariances:
Estimate Std.Err z-value P(>|z|)
copingm ~~
socialm 0.410 0.072 5.663 0.000
enhancem 0.661 0.148 4.456 0.000
socialm ~~
enhancem 0.347 0.089 3.902 0.000
Intercepts:
Estimate Std.Err z-value P(>|z|)
.x1 0.000 0.092 0.000 1.000
.x2 0.000 0.068 0.000 1.000
.x3 0.000 0.086 0.000 1.000
.x4 0.000 0.063 0.000 1.000
.x5 0.000 0.077 0.000 1.000
.x6 0.000 0.079 0.000 1.000
.x7 0.000 0.111 0.000 1.000
.x8 0.000 0.101 0.000 1.000
.x12 0.000 0.119 0.000 1.000
.x9 0.000 0.120 0.000 1.000
.x10 0.000 0.078 0.000 1.000
.x11 0.000 0.115 0.000 1.000
copingm 0.000
socialm 0.000
enhancem 0.000
Variances:
Estimate Std.Err z-value P(>|z|)
.x1 3.106 0.230 13.478 0.000
.x2 1.686 0.125 13.449 0.000
.x3 2.698 0.200 13.477 0.000
.x4 0.463 0.069 6.719 0.000
.x5 1.805 0.130 13.886 0.000
.x6 1.378 0.115 12.022 0.000
.x7 3.255 0.248 13.143 0.000
.x8 2.418 0.194 12.455 0.000
.x12 6.740 0.430 15.673 0.000
.x9 3.891 0.436 8.933 0.000
.x10 1.724 0.183 9.435 0.000
.x11 4.662 0.371 12.579 0.000
copingm 1.129 0.218 5.170 0.000
socialm 0.397 0.111 3.566 0.000
enhancem 3.277 0.524 6.258 0.000
È chiaro che il modello model4 è inadeguato. Il problema emerge chiaramente anche esaminando i MI.
print(modindices(fit4))
lhs op rhs mi epc sepc.lv sepc.all sepc.nox
47 copingm =~ x5 0.090 0.036 0.038 0.022 0.022
48 copingm =~ x6 0.554 0.090 0.096 0.054 0.054
49 copingm =~ x7 0.107 0.055 0.059 0.024 0.024
50 copingm =~ x8 3.919 -0.306 -0.325 -0.143 -0.143
51 copingm =~ x12 6.109 0.499 0.530 0.199 0.199
52 copingm =~ x9 0.390 -0.096 -0.102 -0.038 -0.038
53 copingm =~ x10 0.027 -0.016 -0.017 -0.010 -0.010
54 copingm =~ x11 0.823 0.123 0.131 0.051 0.051
55 socialm =~ x1 1.990 -0.398 -0.251 -0.122 -0.122
56 socialm =~ x2 0.638 0.166 0.105 0.069 0.069
57 socialm =~ x3 0.372 0.160 0.101 0.053 0.053
58 socialm =~ x9 0.315 -0.130 -0.082 -0.031 -0.031
59 socialm =~ x10 1.423 0.179 0.113 0.064 0.064
60 socialm =~ x11 0.520 -0.150 -0.094 -0.037 -0.037
61 enhancem =~ x1 1.029 0.067 0.121 0.059 0.059
62 enhancem =~ x2 0.232 0.023 0.042 0.028 0.028
63 enhancem =~ x3 0.153 -0.024 -0.043 -0.023 -0.023
64 enhancem =~ x4 0.745 -0.031 -0.056 -0.040 -0.040
65 enhancem =~ x5 0.343 -0.028 -0.050 -0.029 -0.029
66 enhancem =~ x6 0.103 0.015 0.027 0.015 0.015
67 enhancem =~ x7 2.752 -0.110 -0.198 -0.080 -0.080
68 enhancem =~ x8 0.129 -0.021 -0.038 -0.017 -0.017
69 enhancem =~ x12 116.781 0.916 1.658 0.624 0.624
70 x1 ~~ x2 1.709 0.177 0.177 0.077 0.077
71 x1 ~~ x3 2.273 -0.257 -0.257 -0.089 -0.089
72 x1 ~~ x4 0.850 0.103 0.103 0.086 0.086
73 x1 ~~ x5 0.292 -0.064 -0.064 -0.027 -0.027
74 x1 ~~ x6 0.188 -0.048 -0.048 -0.023 -0.023
75 x1 ~~ x7 0.023 -0.025 -0.025 -0.008 -0.008
76 x1 ~~ x8 0.419 -0.093 -0.093 -0.034 -0.034
77 x1 ~~ x12 0.025 -0.034 -0.034 -0.007 -0.007
78 x1 ~~ x9 0.011 0.020 0.020 0.006 0.006
79 x1 ~~ x10 0.004 0.008 0.008 0.003 0.003
80 x1 ~~ x11 1.804 0.259 0.259 0.068 0.068
81 x2 ~~ x3 0.071 -0.034 -0.034 -0.016 -0.016
82 x2 ~~ x4 2.979 -0.143 -0.143 -0.162 -0.162
83 x2 ~~ x5 2.403 0.135 0.135 0.077 0.077
84 x2 ~~ x6 0.551 0.060 0.060 0.040 0.040
85 x2 ~~ x7 0.457 -0.081 -0.081 -0.035 -0.035
86 x2 ~~ x8 0.012 0.011 0.011 0.006 0.006
87 x2 ~~ x12 0.134 -0.058 -0.058 -0.017 -0.017
88 x2 ~~ x9 1.033 0.145 0.145 0.056 0.056
89 x2 ~~ x10 1.140 -0.100 -0.100 -0.058 -0.058
90 x2 ~~ x11 0.323 0.081 0.081 0.029 0.029
91 x3 ~~ x4 1.472 0.127 0.127 0.113 0.113
92 x3 ~~ x5 0.140 0.041 0.041 0.019 0.019
93 x3 ~~ x6 0.717 0.087 0.087 0.045 0.045
94 x3 ~~ x7 0.317 0.086 0.086 0.029 0.029
95 x3 ~~ x8 3.121 -0.237 -0.237 -0.093 -0.093
96 x3 ~~ x12 0.001 0.006 0.006 0.001 0.001
97 x3 ~~ x9 0.000 0.003 0.003 0.001 0.001
98 x3 ~~ x10 4.165 -0.241 -0.241 -0.111 -0.111
99 x3 ~~ x11 3.806 0.350 0.350 0.099 0.099
100 x4 ~~ x5 0.316 -0.036 -0.036 -0.039 -0.039
101 x4 ~~ x6 0.052 -0.015 -0.015 -0.019 -0.019
102 x4 ~~ x7 1.182 0.099 0.099 0.081 0.081
103 x4 ~~ x8 0.062 -0.021 -0.021 -0.020 -0.020
104 x4 ~~ x12 0.033 0.020 0.020 0.011 0.011
105 x4 ~~ x9 1.418 -0.115 -0.115 -0.086 -0.086
106 x4 ~~ x10 0.914 0.061 0.061 0.068 0.068
107 x4 ~~ x11 0.517 -0.068 -0.068 -0.047 -0.047
108 x5 ~~ x6 0.611 0.073 0.073 0.046 0.046
109 x5 ~~ x7 0.115 -0.045 -0.045 -0.019 -0.019
110 x5 ~~ x8 0.079 0.034 0.034 0.016 0.016
111 x5 ~~ x12 3.265 -0.302 -0.302 -0.087 -0.087
112 x5 ~~ x9 0.203 0.066 0.066 0.025 0.025
113 x5 ~~ x10 0.000 0.002 0.002 0.001 0.001
114 x5 ~~ x11 2.312 -0.224 -0.224 -0.077 -0.077
115 x6 ~~ x7 2.239 -0.200 -0.200 -0.094 -0.094
116 x6 ~~ x8 0.073 0.033 0.033 0.018 0.018
117 x6 ~~ x12 0.478 0.109 0.109 0.036 0.036
118 x6 ~~ x9 1.251 -0.153 -0.153 -0.066 -0.066
119 x6 ~~ x10 0.784 0.079 0.079 0.051 0.051
120 x6 ~~ x11 0.370 0.083 0.083 0.033 0.033
121 x7 ~~ x8 1.644 0.219 0.219 0.078 0.078
122 x7 ~~ x12 0.433 -0.152 -0.152 -0.032 -0.032
123 x7 ~~ x9 0.005 -0.015 -0.015 -0.004 -0.004
124 x7 ~~ x10 1.836 -0.179 -0.179 -0.076 -0.076
125 x7 ~~ x11 0.348 -0.119 -0.119 -0.031 -0.031
126 x8 ~~ x12 2.680 -0.335 -0.335 -0.083 -0.083
127 x8 ~~ x9 0.676 0.147 0.147 0.048 0.048
128 x8 ~~ x10 0.337 0.068 0.068 0.033 0.033
129 x8 ~~ x11 3.437 -0.330 -0.330 -0.098 -0.098
130 x12 ~~ x9 7.051 0.713 0.713 0.139 0.139
131 x12 ~~ x10 6.960 0.465 0.465 0.136 0.136
132 x12 ~~ x11 68.717 2.238 2.238 0.399 0.399
133 x9 ~~ x10 0.081 0.138 0.138 0.053 0.053
134 x9 ~~ x11 0.166 0.209 0.209 0.049 0.049
135 x10 ~~ x11 0.423 -0.211 -0.211 -0.075 -0.075
Il MI relativo alla saturazione di x12 su enhancem è uguale a 116.781. Chiaramente, in una revisione del modello, questo problema dovrebbe deve essere affrontato.
23.4. Commenti e considerazioni finali#
Gli esempi discussi da Brown [Bro15] mostrano come l’uso dei MI, insieme all’esame della soluzione fattoriale, possano essere usati dallo psicologo per migliorare il modello che viene proposto.