58. Simbolo di somma (sommatorie)

Le somme si incontrano costantemente in svariati contesti matematici e statistici quindi abbiamo bisogno di una notazione adeguata che ci consenta di gestirle. La somma dei primi \(n\) numeri interi può essere scritta come \(1+2+\dots+(n-1)+n\), dove `\(\dots\)’ ci dice di completare la sequenza definita dai termini che vengono prima e dopo. Ovviamente, una notazione come \(1+7+\dots+73.6\) non avrebbe alcun senso senza qualche altro tipo di precisazione. In generale, nel seguito incontreremo delle somme nella forma

\[ x_1+x_2+\dots+x_n, \]

dove \(x_n\) è un numero che è stato definito altrove. La notazione precedente, che fa uso dei tre puntini di sospensione, è utile in alcuni contesti ma in altri risulta ambigua. Pertanto la notazione di uso corrente è del tipo

\[ \sum_{i=1}^n x_i \]

e si legge “sommatoria per \(i\) che va da \(1\) a \(n\) di \(x_i\)”. Il simbolo \(\sum\) (lettera sigma maiuscola dell’alfabeto greco) indica l’operazione di somma, il simbolo \(x_i\) indica il generico addendo della sommatoria, le lettere \(1\) ed \(n\) indicano i cosiddetti estremi della sommatoria, ovvero l’intervallo (da \(1\) fino a \(n\) estremi inclusi) in cui deve variare l’indice \(i\) allorché si sommano gli addendi \(x_i\). Solitamente l’estremo inferiore è \(1\) ma potrebbe essere qualsiasi altri numero \(m < n\). Quindi

\[ \sum_{i=1}^n x_i = x_1 + x_{2} + \dots + x_{n}. \]

Per esempio, se i valori \(x\) sono \(\{3, 11, 4, 7\}\), si avrà

\[ \sum_{i=1}^4 x_i = 3+11+4+7 = 25 \]

laddove \(x_1 = 3\), \(x_2 = 11\), eccetera. La quantità \(x_i\) nella formula precedente si dice l’argomento della sommatoria, mentre la variabile \(i\), che prende i valori naturali successivi indicati nel simbolo, si dice indice della sommatoria.

La notazione di sommatoria può anche essere fornita nella forma seguente

\[ \sum_{P(i)} x_i \]

dove \(P(i)\) è qualsiasi proposizione riguardante \(i\) che può essere vera o falsa. Quando è ovvio che si vogliono sommare tutti i valori di \(n\) osservazioni, la notazione può essere semplificata nel modo seguente: \(\sum_{i} x_i\) oppure \(\sum x_i\). Al posto di \(i\) si possono trovare altre lettere: \(k, j, l, \dots\),.

58.1. Manipolazione di somme

È conveniente utilizzare le seguenti regole per semplificare i calcoli che coinvolgono l’operatore della sommatoria.

58.1.1. Proprietà 1

La sommatoria di \(n\) valori tutti pari alla stessa costante \(a\) è pari a \(n\) volte la costante stessa:

\[ \sum_{i=1}^{n} a = \underbrace{a + a + \dots + a} = {n\text{ volte } a} = n a. \]

58.1.2. Proprietà 2 (proprietà distributiva)

Nel caso in cui l’argomento contenga una costante, è possibile riscrivere la sommatoria. Ad esempio con

\[ \sum_{i=1}^{n} a x_i = a x_1 + a x_2 + \dots + a x_n \]

è possibile raccogliere la costante \(a\) e fare \(a(x_1 +x_2 + \dots + x_n)\). Quindi possiamo scrivere

\[ \sum_{i=1}^{n} a x_i = a \sum_{i=1}^{n} x_i. \]

58.1.3. Proprietà 3 (proprietà associativa)

Nel caso in cui

\[ \sum_{i=1}^{n} (a + x_i) = (a + x_1) + (a + x_1) + \dots (a + x_n) \]

si ha che

\[ \sum_{i=1}^{n} (a + x_i) = n a + \sum_{i=1}^{n} x_i. \]

È dunque chiaro che in generale possiamo scrivere

\[ \sum_{i=1}^{n} (x_i + y_i) = \sum_{i=1}^{n} x_i + \sum_{i=1}^{n} y_i. \]

58.1.4. Proprietà 4

Se deve essere eseguita un’operazione algebrica (innalzamento a potenza, logaritmo, ecc.) sull’argomento della sommatoria, allora tale operazione algebrica deve essere eseguita prima della somma. Per esempio,

\[ \sum_{i=1}^{n} x_i^2 = x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_n^2 \neq \left(\sum_{i=1}^{n} x_i \right)^2. \]

58.1.5. Proprietà 5

Nel caso si voglia calcolare \(\sum_{i=1}^{n} x_i y_i\), il prodotto tra i punteggi appaiati deve essere eseguito prima e la somma dopo:

\[ \sum_{i=1}^{n} x_i y_i = x_1 y_1 + x_2 y_2 + \dots + x_n y_n, \]

infatti, \(a_1 b_1 + a_2 b_2 \neq (a_1 + a_2)(b_1 + b_2)\).

58.2. Doppia sommatoria

È possibile incontrare la seguente espressione in cui figurano una doppia sommatoria e un doppio indice:

\[ \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m} x_{ij}. \]

La doppia sommatoria comporta che per ogni valore dell’indice esterno, \(i\) da \(1\) ad \(n\), occorre sviluppare la seconda sommatoria per \(j\) da \(1\) ad \(m\). Quindi,

\[ \sum_{i=1}^{3}\sum_{j=4}^{6} x_{ij} = (x_{1, 4} + x_{1, 5} + x_{1, 6}) + (x_{2, 4} + x_{2, 5} + x_{2, 6}) + (x_{3, 4} + x_{3, 5} + x_{3, 6}). \]

Un caso particolare interessante di doppia sommatoria è il seguente:

\[ \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n} x_i y_j \]

Si può osservare che nella sommatoria interna (quella che dipende dall’indice \(j\)), la quantità \(x_i\) è costante, ovvero non dipende dall’indice (che è \(j\)). Allora possiamo estrarre \(x_i\) dall’operatore di sommatoria interna e scrivere

\[ \sum_{i=1}^{n} \left( x_i \sum_{j=1}^{n} y_j \right). \]

Allo stesso modo si può osservare che nell’argomento della sommatoria esterna la quantità costituita dalla sommatoria in \(j\) non dipende dall’indice \(i\) e quindi questa quantità può essere estratta dalla sommatoria esterna. Si ottiene quindi

\[ \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n} x_i y_j = \sum_{i=1}^{n} \left( x_i \sum_{j=1}^{n} y_j \right) = \sum_{i=1}^{n} x_i \sum_{j=1}^{n} y_j. \]

Facciamo un esercizio. Verifichiamo quanto detto sopra nel caso particolare di \(x = \{2, 3, 1\}\) e \(y = \{1, 4, 9\}\), svolgendo prima la doppia sommatoria per poi verificare che quanto così ottenuto sia uguale al prodotto delle due sommatorie.

\[\begin{split} \begin{align} \sum_{i=1}^3 \sum_{j=1}^3 x_i y_j &= x_1y_1 + x_1y_2 + x_1y_3 + x_2y_1 + x_2y_2 + x_2y_3 + x_3y_1 + x_3y_2 + x_3y_3 \notag\\ &= 2 \times (1+4+9) + 3 \times (1+4+9) + 2 \times (1+4+9) = 84,\notag \end{align} \end{split}\]

ovvero

\[ (2 + 3 + 1) \times (1+4+9) = 84. \]