56. Simbologia di base

Per una scrittura più sintetica possono essere utilizzati alcuni simboli matematici.

• $\log (x)$: il logaritmo naturale di $x$.

• L’operatore logico booleano $\wedge$ significa “e” (congiunzione forte) mentre il connettivo di disgiunzione $\vee$ significa “o” (oppure) (congiunzione debole).

• Il quantificatore esistenziale $\mathrm{\exists }$ vuol dire “esiste almeno un” e indica l’esistenza di almeno una istanza del concetto/oggetto indicato. Il quantificatore esistenziale di unicità $\mathrm{\exists }!$ (“esiste soltanto un”) indica l’esistenza di esattamente una istanza del concetto/oggetto indicato. Il quantificatore esistenziale $\nexists$ nega l’esistenza del concetto/oggetto indicato.

• Il quantificatore universale $\mathrm{\forall }$ vuol dire “per ogni.”

• $\mathcal{A}\mathcal{,}\mathcal{S}$: insiemi.

• $x\in A$: $x$ è un elemento dell’insieme $A$.

• L’implicazione logica “$\Rightarrow$” significa “implica” (se …allora). $P\Rightarrow Q$ vuol dire che $P$ è condizione sufficiente per la verità di $Q$ e che $Q$ è condizione necessaria per la verità di $P$.

• L’equivalenza matematica “$⟺$” significa “se e solo se” e indica una condizione necessaria e sufficiente, o corrispondenza biunivoca.

• Il simbolo $|$ si legge “tale che.”

• Il simbolo $\triangleq$ (o $:=$) si legge “uguale per definizione.”

• Il simbolo $\mathrm{\Delta }$ indica la differenza fra due valori della variabile scritta a destra del simbolo.

• Il simbolo $\propto$ si legge “proporzionale a.”

• Il simbolo $\approx$ si legge “circa.”

• Il simbolo $\in$ della teoria degli insiemi vuol dire “appartiene” e indica l’appartenenza di un elemento ad un insieme. Il simbolo $\notin$ vuol dire “non appartiene.”

• Il simbolo $\subseteq$ si legge “è un sottoinsieme di” (può coincidere con l’insieme stesso). Il simbolo $\subset$ si legge “è un sottoinsieme proprio di.”

• Il simbolo $\mathrm{\#}$ indica la cardinalità di un insieme.

• Il simbolo $\cap$ indica l’intersezione di due insiemi. Il simbolo $\cup$ indica l’unione di due insiemi.

• Il simbolo $\mathrm{\varnothing }$ indica l’insieme vuoto o evento impossibile.

• In matematica, $\text{argmax}$ identifica l’insieme dei punti per i quali una data funzione raggiunge il suo massimo. In altre parole, ${\text{argmax}}_{x}f(x)$ è l’insieme dei valori di $x$ per i quali $f(x)$ raggiunge il valore più alto.

• $a,c,\alpha ,\gamma$: scalari.

• $\mathit{x},\mathit{y}$: vettori.

• $\mathit{X},\mathit{Y}$: matrici.

• $X\sim p$: la variabile casuale $X$ si distribuisce come $p$.

• $p(\cdot )$: distribuzione di massa o di densità di probabilità.

• $p(y\mid \mathit{x})$: la probabilità o densità di $y$ dato $\mathit{x}$, ovvero $p(y=\mathit{Y}\mid x=\mathit{X})$.

• $f(x)$: una funzione arbitraria di $x$.

• $f(\mathit{X};\theta ,\gamma )$: $f$ è una funzione di $\mathit{X}$ con parametri $\theta ,\gamma$. Questa notazione indica che $\mathit{X}$ sono i dati che vengono passati ad un modello di parametri $\theta ,\gamma$.

• $\mathcal{N}(\mu ,{\sigma }^2)$: distribuzione gaussiana di media $\mu$ e varianza $sigm{a}^2$.

• $\text{Beta}(\alpha ,\beta )$: distribuzione Beta di parametri $\alpha$ e $\beta$.

• $\mathcal{U}(a,b)$: distribuzione uniforme con limite inferiore $a$ e limite superiore $b$.

• $\text{Cauchy}(\alpha ,\beta )$: distribuzione di Cauchy di parametri $\alpha$ (posizione: media) e $\beta$ (scala: radice quadrata della varianza).

• $\mathcal{B}(p)$: distribuzione di Bernoulli di parametro $p$ (probabilità di successo).

• $\text{Bin}(n,p)$: distribuzione binomiale di parametri $n$ (numero di prove) e $p$ (probabilità di successo).

• $\mathbb{KL}(p\mid \mid q)$: la divergenza di Kullback-Leibler da $p$ a $q$.