56. Simbologia di base#
Per una scrittura più sintetica possono essere utilizzati alcuni simboli matematici.
\(\log(x)\): il logaritmo naturale di \(x\).
L’operatore logico booleano \(\land\) significa “e” (congiunzione forte) mentre il connettivo di disgiunzione \(\lor\) significa “o” (oppure) (congiunzione debole).
Il quantificatore esistenziale \(\exists\) vuol dire “esiste almeno un” e indica l’esistenza di almeno una istanza del concetto/oggetto indicato. Il quantificatore esistenziale di unicità \(\exists!\) (“esiste soltanto un”) indica l’esistenza di esattamente una istanza del concetto/oggetto indicato. Il quantificatore esistenziale \(\nexists\) nega l’esistenza del concetto/oggetto indicato.
Il quantificatore universale \(\forall\) vuol dire “per ogni.”
\(\mathcal{A, S}\): insiemi.
\(x \in A\): \(x\) è un elemento dell’insieme \(A\).
L’implicazione logica “\(\Rightarrow\)” significa “implica” (se …allora). \(P \Rightarrow Q\) vuol dire che \(P\) è condizione sufficiente per la verità di \(Q\) e che \(Q\) è condizione necessaria per la verità di \(P\).
L’equivalenza matematica “\(\iff\)” significa “se e solo se” e indica una condizione necessaria e sufficiente, o corrispondenza biunivoca.
Il simbolo \(\vert\) si legge “tale che.”
Il simbolo \(\triangleq\) (o \(:=\)) si legge “uguale per definizione.”
Il simbolo \(\Delta\) indica la differenza fra due valori della variabile scritta a destra del simbolo.
Il simbolo \(\propto\) si legge “proporzionale a.”
Il simbolo \(\approx\) si legge “circa.”
Il simbolo \(\in\) della teoria degli insiemi vuol dire “appartiene” e indica l’appartenenza di un elemento ad un insieme. Il simbolo \(\notin\) vuol dire “non appartiene.”
Il simbolo \(\subseteq\) si legge “è un sottoinsieme di” (può coincidere con l’insieme stesso). Il simbolo \(\subset\) si legge “è un sottoinsieme proprio di.”
Il simbolo \(\#\) indica la cardinalità di un insieme.
Il simbolo \(\cap\) indica l’intersezione di due insiemi. Il simbolo \(\cup\) indica l’unione di due insiemi.
Il simbolo \(\emptyset\) indica l’insieme vuoto o evento impossibile.
In matematica, \(\mbox{argmax}\) identifica l’insieme dei punti per i quali una data funzione raggiunge il suo massimo. In altre parole, \(\mbox{argmax}_x f(x)\) è l’insieme dei valori di \(x\) per i quali \(f(x)\) raggiunge il valore più alto.
\(a, c, \alpha, \gamma\): scalari.
\(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}\): vettori.
\(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y}\): matrici.
\(X \sim p\): la variabile casuale \(X\) si distribuisce come \(p\).
\(p(\cdot)\): distribuzione di massa o di densità di probabilità.
\(p(y \mid \boldsymbol{x})\): la probabilità o densità di \(y\) dato \(\boldsymbol{x}\), ovvero \(p(y = \boldsymbol{Y} \mid x = \boldsymbol{X})\).
\(f(x)\): una funzione arbitraria di \(x\).
\(f(\boldsymbol{X}; \theta, \gamma)\): \(f\) è una funzione di \(\boldsymbol{X}\) con parametri \(\theta, \gamma\). Questa notazione indica che \(\boldsymbol{X}\) sono i dati che vengono passati ad un modello di parametri \(\theta, \gamma\).
\(\mathcal{N}(\mu, \sigma^2)\): distribuzione gaussiana di media \(\mu\) e varianza \(sigma^2\).
\(\mbox{Beta}(\alpha, \beta)\): distribuzione Beta di parametri \(\alpha\) e \(\beta\).
\(\mathcal{U}(a, b)\): distribuzione uniforme con limite inferiore \(a\) e limite superiore \(b\).
\(\mbox{Cauchy}(\alpha, \beta)\): distribuzione di Cauchy di parametri \(\alpha\) (posizione: media) e \(\beta\) (scala: radice quadrata della varianza).
\(\mathcal{B}(p)\): distribuzione di Bernoulli di parametro \(p\) (probabilità di successo).
\(\mbox{Bin}(n, p)\): distribuzione binomiale di parametri \(n\) (numero di prove) e \(p\) (probabilità di successo).
\(\mathbb{KL} (p \mid\mid q)\): la divergenza di Kullback-Leibler da \(p\) a \(q\).