Parte 4: Inferenza bayesiana

In questa sezione della dispensa verrà discusso l’argomento più difficile, quello dell’inferenza bayesiana.

Nel Capitolo 15 verrà introdotto il flusso di lavoro bayesiano.
Il Capitolo 16 spiega cosa significa, in termini bayesiani, fare un’inferenza. Sarà considerato qui il caso più semplice, ovvero quello di una proporzione.
Il Capitolo 17 mostra come la distribuzione a posteriori possa essere derivata per via analitica nel caso delle famiglie coniugate di distribuzioni. Verrà qui esaminato lo schema beta-binomiale.
Il Capitolo 18 discute l’influenza della distribuzione a priori sulla distribuzione a posteriori.
Il Capitolo 19 mostra come la distribuzione a posteriori possa essere approssimata per via numerica, quando una derivazione formale non è possibile. Verranno descritto il metodo basato su griglia e l’algoritmo di Metropolis.
Il Capitolo 20 fornisce un’introduzione al linguaggio di programmazione probabilistico Stan. L’algoritmo di Metropolis fornisce sempre una buona approssimazione alla distribuzione a posteriori. Ma ha lo svantaggio di essere poco efficiente – ovvero di richiedere un numero molto grande di iterazioni per produrre un’approssimazione accettabile. Nel caso di modelli statistici complessi, le simulazioni MCMC richiedono un tempo molto lungo (si parla di ore, giorni, settimane…). In tali circostanze è ovvio che l’efficienza del campionamento diventa importante. L’algoritmo di Metropolis è molto semplice ma è poco efficiente. Recentemente sono stati sviluppati algoritmi molto più efficienti. Il linguaggio probabilistico Stan implementa il campionamento hamiltoniano che, correntemente, è il campionamento MCMC più efficiente. Tale metodo di campionamento è anche implementato in software che sono più semplici da usare di Stan (si veda, ad esempio, la funzione brm() del pacchetto $\mathsf{R}$ brms). Tuttavia, per scopi didattici, nel testo presente useremo Stan.

# Parte 4: Inferenza bayesiana {#sec-bayes-inference} In questa sezione della dispensa verrà discusso l'argomento più difficile, quello dell'inferenza bayesiana. - Nel @sec-bayes-workflow verrà introdotto il flusso di lavoro bayesiano. - Il @sec-subj-think-prop spiega cosa significa, in termini bayesiani, fare un'inferenza. Sarà considerato qui il caso più semplice, ovvero quello di una proporzione. - Il @sec-distr-coniugate mostra come la distribuzione a posteriori possa essere derivata per via analitica nel caso delle famiglie coniugate di distribuzioni. Verrà qui esaminato lo schema beta-binomiale. - Il @sec-prior-influence discute l'influenza della distribuzione a priori sulla distribuzione a posteriori. - Il @sec-grid-metropolis mostra come la distribuzione a posteriori possa essere approssimata per via numerica, quando una derivazione formale non è possibile. Verranno descritto il metodo basato su griglia e l'algoritmo di Metropolis. - Il @sec-stan-beta-binom fornisce un'introduzione al linguaggio di programmazione probabilistico Stan. L'algoritmo di Metropolis fornisce sempre una buona approssimazione alla distribuzione a posteriori. Ma ha lo svantaggio di essere poco efficiente -- ovvero di richiedere un numero molto grande di iterazioni per produrre un'approssimazione accettabile. Nel caso di modelli statistici complessi, le simulazioni MCMC richiedono un tempo molto lungo (si parla di ore, giorni, settimane...). In tali circostanze è ovvio che l'efficienza del campionamento diventa importante. L'algoritmo di Metropolis è molto semplice ma è poco efficiente. Recentemente sono stati sviluppati algoritmi molto più efficienti. Il linguaggio probabilistico Stan implementa il campionamento hamiltoniano che, correntemente, è il campionamento MCMC più efficiente. Tale metodo di campionamento è anche implementato in software che sono più semplici da usare di Stan (si veda, ad esempio, la funzione `brm()` del pacchetto $\mathsf{R}$ `brms`). Tuttavia, per scopi didattici, nel testo presente useremo Stan.