25 Introduzione

Il fine primario dei ricercatori è quello di scoprire associazioni tra variabili e di fare confronti fra condizioni sperimentali. Nel caso della psicologia, il ricercatore vuole descrivere le relazioni tra i costrutti psicologici e le relazioni tra fenomeni psicologici e non psicologici (sociali, economici, storici, …). Abbiamo già visto come la correlazione di Pearson sia uno strumento adatto a descrivere le relazioni tra variabili. Infatti, la correlazione ci informa sulla direzione e sull’intensità della relazione lineare tra due variabili. Tuttavia, la correlazione non è sufficiente, in quanto il ricercatore ha a disposizione solo i dati di un campione, mentre vorrebbe descrivere la relazione tra le variabili nella popolazione. A causa della variabilità campionaria, le proprietà dei campioni sono necessariamente diverse da quelle della popolazione: ciò che si può osservare nella popolazione potrebbe non emergere nel campione e, al contrario, il campione può manifestare caratteristiche che non sono presenti nella popolazione. È dunque necessario chiarire, dal punto di vista statistico, il legame che intercorre tra le proprietà del campione e le proprietà della popolazione da cui esso è stato estratto. Questo è l’obiettivo del modello di regressione lineare. Tale modello utilizza la funzione matematica più semplice per descrivere la relazione fra due variabili, ovvero la funzione lineare. In questo Capitolo vedremo come il modello di regressione lineare possa essere usato per fare inferenza sulla relazione tra variabili. Inizieremo a descrivere le proprietà geometriche della funzione lineare per poi utilizzare questa semplice funzione per costruire un modello statistico secondo un approccio bayesiano.

25.1 La funzione lineare

Iniziamo con un ripasso sulla funzione di lineare. Si chiama funzione lineare una funzione del tipo

\[ f(x) = a + b x, \]

dove $a$ e $b$ sono delle costanti. Il grafico di tale funzione è una retta di cui il parametro $b$ è detto coefficiente angolare e il parametro $a$ è detto intercetta con l’asse delle $y$ [infatti, la retta interseca l’asse $y$ nel punto $(0,a)$, se $b \neq 0$].

Per assegnare un’interpretazione geometrica alle costanti $a$ e $b$ si consideri la funzione

\[ y = b x. \]

Tale funzione rappresenta un caso particolare, ovvero quello della proporzionalità diretta tra $x$ e $y$. Il caso generale della linearità

\[ y = a + b x \]

non fa altro che sommare una costante $a$ a ciascuno dei valori $y = b x$. Nella funzione lineare $y = a + b x$, se $b$ è positivo allora $y$ aumenta al crescere di $x$; se $b$ è negativo $y$ diminuisce al crescere di $x$; se $b=0$ la retta è orizzontale, ovvero $y$ non muta al variare di $x$.

Consideriamo ora più in dettaglio il coefficiente $b$. Si consideri un punto $x_0$ e un incremento arbitrario $\varepsilon$, come indicato nella Figura 25.1. Le differenze $\Delta x = (x_0 + \varepsilon) - x_0$ e $\Delta y = f(x_0 + \varepsilon) - f(x_0)$ sono detti incrementi di $x$ e $y$. Il coefficiente angolare $b$ è uguale al rapporto

\[ b = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x_0 + \varepsilon) - f(x_0)}{(x_0 + \varepsilon) - x_0}, \]

indipendentemente dalla grandezza degli incrementi $\Delta x$ e $\Delta y$. Il modo più semplice per assegnare un’interpretazione geometrica al coefficiente angolare (o pendenza) della retta è quello di porre $\Delta x = 1$. In tali circostanze, $b = \Delta y$.

Figura 25.1: La funzione lineare $y = a + bx$.

Possiamo dunque dire che la pendenza $b$ di un retta è uguale all’incremento $\Delta y$ associato ad un incremento unitario nella $x$.

25.2 Una media per ciascuna osservazione

In precedenza abbiamo visto come stimare i parametri di un modello bayesiano nel quale le osservazioni sono indipendenti e identicamente distribuite secondo una densità gaussiana,

\[ Y_i \stackrel{i.i.d.}{\sim} \mathcal{N}(\mu, \sigma), \quad i = 1, \dots, n. \tag{25.1}\]

Il modello dell’Equazione 25.1 assume che ogni $Y_i$ sia la realizzazione di una v.c. distribuita come $\mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$. Da un punto di vista bayesiano, questo modello può essere implementato assegnando delle distribuzioni a priori ai parametri $\mu$ e $\sigma$ e generando la verosimiglianza in base ai dati osservati.

\[ \begin{align} Y_i \mid \mu, \sigma & \stackrel{iid}{\sim} \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)\notag\\ \mu & \sim \mathcal{N}(\mu_0, \tau^2) \notag\\ \sigma & \sim \mbox{Cauchy}(x_0, \gamma) \notag \end{align} \]

Con queste informazioni, possono poi essere trovate le distribuzioni a posteriori dei parametri (Gelman et al., 2020). Vediamo ora come sia possibile estendere questo modello bayesiano in modo che possa descrivere la relazione lineare tra due variabili.

25.3 Relazione lineare tra la media $y \mid x$ e il predittore

Il ricercatore si trova spesso nella condizione in cui osserva altre variabili di interesse associate a ciascuna risposta $y_i$. Chiamiamo $x$ una di tali variabili. Nel contesto del modello di regressione, la variabile $x$ viene chiamata predittore (o variabile indipendente), in quanto il ricercatore è tipicamente interessato a predire $y_i$ a partire dal valore assunto da $x_i$. Chiediamoci dunque come si può estende il modello dell’Equazione 25.1 per lo studio della relazione tra $y_i$ e $x_i$.

L’Equazione 25.1 assume una media $\mu$ comune per tutte le osservazioni $Y_i$. Dal momento che desideriamo introdurre una nuova variabile $x_i$ che assume un diverso valore per ciascuna osservazione $y_i$, l’Equazione 25.1 può essere modificata così da sostituire alla media comune $\mu$ una media $\mu_i$ specifica a ciascuna $i$-esima osservazione:

\[ Y_i \mid \mu_i, \sigma \stackrel{ind}{\sim} \mathcal{N}(\mu_i, \sigma), \quad i = 1, \dots, n. \tag{25.2}\]

Si noti che le osservazioni $Y_1, \dots, Y_n$ non sono più identicamente distribuite poiché hanno medie diverse, ma sono ancora indipendenti come indicato dalla notazione ind posta sopra il simbolo $\sim$ nell’Equazione 25.2.

L’Equazione 25.2 afferma che ciascuna osservazione $Y_i$ è estratta a caso dalla corrispondente distribuzione $\mathcal{N}(\mu_i, \sigma)$. Al fine di potere descrivere la relazione tra il predittore $x_i$ e la risposta $Y_i$, il modello di regressione assume che la media della distribuzione da cui abbiamo estratto $Y_i$, ovvero $\mu_i$, sia una funzione lineare del predittore $x_i$, ovvero

\[ \mu_i = \beta_0 + \beta_ 1 x_i, \quad i = 1, \dots, n. \tag{25.3}\]

Nell’Equazione 25.3, ciascuna $x_i$ è una costante nota (ecco perché viene usata una lettera minuscola per la $x$) e $\beta_0$ e $\beta_ 1$ sono parametri incogniti. Questi parametri rappresentano l’intercetta e la pendenza della retta di regressione e sono delle variabili casuali.¹ L’inferenza bayesiana procede assegnando una distribuzione a priori a $\beta_0$ e a $\beta_1$, trovando la verosimiglianza dei dati e calcolando la distribuzione a priori dei parametri $\beta_0$ e a $\beta_1$.

Nel modello dell’Equazione 25.3, la funzione lineare $\beta_0 + \beta_1 x_i$ è interpretata come il valore atteso della $Y_i$ per ciascun valore $x_i$. L’intercetta $\beta_0$ rappresenta il valore atteso della $Y_i$ quando $x_i = 0$. La pendenza $\beta_1$ rappresenta l’incremento atteso della $Y_i$ quando $x_i$ aumenta di un’unità.

È importante notare che la relazione lineare dell’Equazione 25.2 di parametri $\beta_0$ e $\beta_1$ descrive l’associazione tra la media $\mu_i$ e il predittore $x_i$. In altri termini, tale relazione lineare fornisce una predizione sul valore atteso $\mu_i$, non sul valore effettivo di ciascuna osservazione $Y_i$.

25.4 Il modello lineare

Sostituendo l’Equazione 25.3 nell’Equazione 25.2 otteniamo il modello lineare:

\[ Y_i \mid \beta_0, \beta_ 1, \sigma \stackrel{ind}{\sim} \mathcal{N}(\beta_0 + \beta_ 1 x_i, \sigma), \quad i = 1, \dots, n. \tag{25.4}\]

L’Equazione 25.4 è dunque un caso speciale del modello di campionamento Normale, dove le $Y_i$ seguono indipendentemente una densità Normale di media ($\beta_0 + \beta_ 1 x_i$) specifica per ciascuna osservazione, con una deviazione standard ($\sigma$) comune a tutte le osservazioni. Poiché include un solo predittore ($x$), questo modello è chiamato modello di regressione lineare bivariato.

Il modello di regressione lineare bivariato può essere rappresentato in forma geometrica come indicato nella Figura 25.2. La figura illustra che, in tale modello statistico, la variabile $x$ è fissa per disegno – in altre parole, i valori $x$ restano immutati tra campioni diversi. Potendo ipotizzare infiniti campioni tutti con gli stessi valori $x$, in corrispondenza di ciascun valore $x_i$ vi sarà una distribuzione di valori $y$. La Figura 25.2 illustra il caso di tre valori $x$. A ciascun valore $x_i$, con $i = 1, 2, 3$, corrisponde una distribuzione di valori $y$ condizionati a $x_i$, $p(y \mid x_i)$.

Figura 25.2: Modello statistico di regressione lineare bivariato.

Il modello statistico di regressione lineare assume che le distribuzioni condizionate $p(y \mid x_i)$ sono

\[ y_i \sim \mathcal{N}(\mu_i, \sigma), \]

(assunzione di normalità), laddove

\[ \mu_i = \mathbb{E}(y \mid x_i) = \alpha + \beta x_i. \]

L’equazione precedente descrive l’assunzione di linearità.

Si noti che il parametro $\sigma$ non ha un pedice: questo significa che il modello ipotizza una dispersione costante delle distribuzioni $p(y \mid x_i), \forall i$. Tale assunzione va sotto il nome di omoschedasticità.

Se questa è la struttura della popolazione, possiamo pensare ad un campione casuale di ampiezza $n$ come ad una serie di coppie $x_i, y_i$, con $i = 1, \dots, n$, nelle quali i valori $x$ sono fissi per disegno e ciascun valore $y_i$ è una realizzazione della variabile casuale $Y = y_i \mid X = x_i$. Questa è l’ultima assunzione del modello statistico lineare: l’indipendenza. In maniera equivalente possiamo dire che gli errori $\varepsilon_i = y_i - \hat{y}_i = y_i - (\beta_0 + \beta_1 x_i)$ sono variabili casuali distribuite secondo la legge Normale di parametri $\mathcal{N}(0, \sigma)$.

Commenti e considerazioni finali

Il modello di regressione lineare bivariato viene usato per descrivere la relazione lineare tra due variabili $x$ e $Y$, e per determinare il segno e l’intensità di tale relazione. Inoltre, il modello di regressione lineare consente di prevedere il valore della variabile dipendente $Y$ in base al valore assunto dalla variabile indipendente $x$.

Una notazione alternativa per tali parametri è $\alpha$, $\beta$, anziché $\beta_0$, $\beta_1$.↩︎

# Introduzione {#sec-regr-intro} ```{r, echo=FALSE, message=FALSE, warning=FALSE, error=FALSE} source("_common.R") source("_stan_options.R") library("magick") ``` Il fine primario dei ricercatori è quello di scoprire associazioni tra variabili e di fare confronti fra condizioni sperimentali. Nel caso della psicologia, il ricercatore vuole descrivere le relazioni tra i costrutti psicologici e le relazioni tra fenomeni psicologici e non psicologici (sociali, economici, storici, ...). Abbiamo già visto come la correlazione di Pearson sia uno strumento adatto a descrivere le relazioni tra variabili. Infatti, la correlazione ci informa sulla direzione e sull'intensità della *relazione lineare* tra due variabili. Tuttavia, la correlazione non è sufficiente, in quanto il ricercatore ha a disposizione solo i dati di un campione, mentre vorrebbe descrivere la relazione tra le variabili nella popolazione. A causa della variabilità campionaria, le proprietà dei campioni sono necessariamente diverse da quelle della popolazione: ciò che si può osservare nella popolazione potrebbe non emergere nel campione e, al contrario, il campione può manifestare caratteristiche che non sono presenti nella popolazione. È dunque necessario chiarire, dal punto di vista statistico, il legame che intercorre tra le proprietà del campione e le proprietà della popolazione da cui esso è stato estratto. Questo è l'obiettivo del modello di regressione lineare. Tale modello utilizza la funzione matematica più semplice per descrivere la relazione fra due variabili, ovvero la funzione lineare. In questo Capitolo vedremo come il modello di regressione lineare possa essere usato per fare inferenza sulla relazione tra variabili. Inizieremo a descrivere le proprietà geometriche della funzione lineare per poi utilizzare questa semplice funzione per costruire un modello statistico secondo un approccio bayesiano. ## La funzione lineare Iniziamo con un ripasso sulla funzione di lineare. Si chiama *funzione lineare* una funzione del tipo $$ f(x) = a + b x, $$ dove $a$ e $b$ sono delle costanti. Il grafico di tale funzione è una retta di cui il parametro $b$ è detto *coefficiente angolare* e il parametro $a$ è detto *intercetta* con l'asse delle $y$ \[infatti, la retta interseca l'asse $y$ nel punto $(0,a)$, se $b \neq 0$\]. Per assegnare un'interpretazione geometrica alle costanti $a$ e $b$ si consideri la funzione $$ y = b x. $$ Tale funzione rappresenta un caso particolare, ovvero quello della *proporzionalità diretta* tra $x$ e $y$. Il caso generale della linearità $$ y = a + b x $$ non fa altro che sommare una costante $a$ a ciascuno dei valori $y = b x$. Nella funzione lineare $y = a + b x$, se $b$ è positivo allora $y$ aumenta al crescere di $x$; se $b$ è negativo $y$ diminuisce al crescere di $x$; se $b=0$ la retta è orizzontale, ovvero $y$ non muta al variare di $x$. Consideriamo ora più in dettaglio il coefficiente $b$. Si consideri un punto $x_0$ e un incremento arbitrario $\varepsilon$, come indicato nella @fig-linearfunction. Le differenze $\Delta x = (x_0 + \varepsilon) - x_0$ e $\Delta y = f(x_0 + \varepsilon) - f(x_0)$ sono detti *incrementi* di $x$ e $y$. Il coefficiente angolare $b$ è uguale al rapporto $$ b = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x_0 + \varepsilon) - f(x_0)}{(x_0 + \varepsilon) - x_0}, $$ indipendentemente dalla grandezza degli incrementi $\Delta x$ e $\Delta y$. Il modo più semplice per assegnare un'interpretazione geometrica al coefficiente angolare (o pendenza) della retta è quello di porre $\Delta x = 1$. In tali circostanze, $b = \Delta y$. ```{r fig-linearfunction, echo=FALSE, out.width="75%", fig.cap="La funzione lineare $y = a + bx$."} knitr::include_graphics("images/linear_function.png") ``` Possiamo dunque dire che la pendenza $b$ di un retta è uguale all'incremento $\Delta y$ associato ad un incremento unitario nella $x$.               ## Una media per ciascuna osservazione In precedenza abbiamo visto come stimare i parametri di un modello bayesiano nel quale le osservazioni sono indipendenti e identicamente distribuite secondo una densità gaussiana, $$ Y_i \stackrel{i.i.d.}{\sim} \mathcal{N}(\mu, \sigma), \quad i = 1, \dots, n. $$ {#eq-normalsamplingmodel} Il modello dell'@eq-normalsamplingmodel assume che ogni $Y_i$ sia la realizzazione di una v.c. distribuita come $\mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$. Da un punto di vista bayesiano, questo modello può essere implementato assegnando delle distribuzioni a priori ai parametri $\mu$ e $\sigma$ e generando la verosimiglianza in base ai dati osservati. $$ \begin{align} Y_i \mid \mu, \sigma & \stackrel{iid}{\sim} \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)\notag\\ \mu & \sim \mathcal{N}(\mu_0, \tau^2) \notag\\ \sigma & \sim \mbox{Cauchy}(x_0, \gamma) \notag \end{align} $$ Con queste informazioni, possono poi essere trovate le distribuzioni a posteriori dei parametri [@gelman2020regression]. Vediamo ora come sia possibile estendere questo modello bayesiano in modo che possa descrivere la relazione *lineare* tra due variabili. ## Relazione lineare tra la media $y \mid x$ e il predittore Il ricercatore si trova spesso nella condizione in cui osserva altre variabili di interesse associate a ciascuna risposta $y_i$. Chiamiamo $x$ una di tali variabili. Nel contesto del modello di regressione, la variabile $x$ viene chiamata *predittore* (o *variabile indipendente*), in quanto il ricercatore è tipicamente interessato a predire $y_i$ a partire dal valore assunto da $x_i$. Chiediamoci dunque come si può estende il modello dell'@eq-normalsamplingmodel per lo studio della relazione tra $y_i$ e $x_i$. L'@eq-normalsamplingmodel assume una media $\mu$ comune per tutte le osservazioni $Y_i$. Dal momento che desideriamo introdurre una nuova variabile $x_i$ che assume un diverso valore per ciascuna osservazione $y_i$, l'@eq-normalsamplingmodel può essere modificata così da sostituire alla media comune $\mu$ una media $\mu_i$ specifica a ciascuna $i$-esima osservazione: $$ Y_i \mid \mu_i, \sigma \stackrel{ind}{\sim} \mathcal{N}(\mu_i, \sigma), \quad i = 1, \dots, n. $$ {#eq-normalsamplinglinearmodel} Si noti che le osservazioni $Y_1, \dots, Y_n$ non sono più *identicamente distribuite* poiché hanno medie diverse, ma sono ancora indipendenti come indicato dalla notazione `ind` posta sopra il simbolo $\sim$ nell'@eq-normalsamplinglinearmodel. L'@eq-normalsamplinglinearmodel afferma che ciascuna osservazione $Y_i$ è estratta a caso dalla corrispondente distribuzione $\mathcal{N}(\mu_i, \sigma)$. Al fine di potere descrivere la relazione tra il predittore $x_i$ e la risposta $Y_i$, il modello di regressione assume che la media della distribuzione da cui abbiamo estratto $Y_i$, ovvero $\mu_i$, sia una funzione lineare del predittore $x_i$, ovvero $$ \mu_i = \beta_0 + \beta_ 1 x_i, \quad i = 1, \dots, n. $$ {#eq-regmodel} Nell'@eq-regmodel, ciascuna $x_i$ è una costante nota (ecco perché viene usata una lettera minuscola per la $x$) e $\beta_0$ e $\beta_ 1$ sono parametri incogniti. Questi parametri rappresentano l'intercetta e la pendenza della retta di regressione e sono delle variabili casuali.[^reglin1-1] L'inferenza bayesiana procede assegnando una distribuzione a priori a $\beta_0$ e a $\beta_1$, trovando la verosimiglianza dei dati e calcolando la distribuzione a priori dei parametri $\beta_0$ e a $\beta_1$. [^reglin1-1]: Una notazione alternativa per tali parametri è $\alpha$, $\beta$, anziché $\beta_0$, $\beta_1$. Nel modello dell'@eq-regmodel, la funzione lineare $\beta_0 + \beta_1 x_i$ è interpretata come il valore atteso della $Y_i$ per ciascun valore $x_i$. L'intercetta $\beta_0$ rappresenta il valore atteso della $Y_i$ quando $x_i = 0$. La pendenza $\beta_1$ rappresenta l'incremento atteso della $Y_i$ quando $x_i$ aumenta di un'unità. È importante notare che la relazione lineare dell'@eq-normalsamplinglinearmodel di parametri $\beta_0$ e $\beta_1$ descrive l'associazione tra *la media* $\mu_i$ e il predittore $x_i$. In altri termini, tale relazione lineare fornisce una predizione sul valore atteso $\mu_i$, non sul valore *effettivo* di ciascuna osservazione $Y_i$. ## Il modello lineare Sostituendo l'@eq-regmodel nell'@eq-normalsamplinglinearmodel otteniamo il modello lineare: $$ Y_i \mid \beta_0, \beta_ 1, \sigma \stackrel{ind}{\sim} \mathcal{N}(\beta_0 + \beta_ 1 x_i, \sigma), \quad i = 1, \dots, n. $$ {#eq-samplinglinearmodel} L'@eq-samplinglinearmodel è dunque un caso speciale del modello di campionamento Normale, dove le $Y_i$ seguono indipendentemente una densità Normale di media ($\beta_0 + \beta_ 1 x_i$) specifica per ciascuna osservazione, con una deviazione standard ($\sigma$) comune a tutte le osservazioni. Poiché include un solo predittore ($x$), questo modello è chiamato *modello di regressione lineare bivariato*. Il modello di regressione lineare bivariato può essere rappresentato in forma geometrica come indicato nella @fig-modregbiv. La figura illustra che, in tale modello statistico, la variabile $x$ è fissa per disegno -- in altre parole, i valori $x$ restano immutati tra campioni diversi. Potendo ipotizzare infiniti campioni tutti con gli stessi valori $x$, in corrispondenza di ciascun valore $x_i$ vi sarà una distribuzione di valori $y$. La @fig-modregbiv illustra il caso di tre valori $x$. A ciascun valore $x_i$, con $i = 1, 2, 3$, corrisponde una distribuzione di valori $y$ condizionati a $x_i$, $p(y \mid x_i)$. ```{r fig-modregbiv, fig.cap="Modello statistico di regressione lineare bivariato.", echo = FALSE, message=FALSE, warning=FALSE} x <- runif(100, 0, 15) y <- 1000 + 200*x + rnorm(100, 0, 300) df <- data.frame(x, y) lm_fit <- lm(y ~ x, data = df) k <- 2.5 sigma <- sigma(lm_fit) ab <- coef(lm_fit); a <- ab[1]; b <- ab[2] x <- seq(-k*sigma, k*sigma, length.out = 50) y <- dnorm(x, 0, sigma)/dnorm(0, 0, sigma) * 3 x0 <- 0 y0 <- a+b*x0 path1 <- data.frame(x = y + x0, y = x + y0) segment1 <- data.frame(x = x0, y = y0 - k*sigma, xend = x0, yend = y0 + k*sigma) x0 <- 5 y0 <- a+b*x0 path2 <- data.frame(x = y + x0, y = x + y0) segment2 <- data.frame(x = x0, y = y0 - k*sigma, xend = x0, yend = y0 + k*sigma) x0 <- 10 y0 <- a+b*x0 path3 <- data.frame(x = y + x0, y = x + y0) segment3 <- data.frame(x = x0, y = y0 - k*sigma, xend = x0, yend = y0 + k*sigma) ggplot(df, mapping = aes(x=x, y=y)) + # geom_point(color="blue") + geom_smooth(method='lm', se=FALSE, color="black") + geom_path(aes(x,y), data = path1, color = "darkgray") + geom_segment(aes(x=x,y=y,xend=xend,yend=yend), data = segment1) + geom_path(aes(x,y), data = path2, color = "darkgray") + geom_segment(aes(x=x,y=y,xend=xend,yend=yend), data = segment2) + geom_path(aes(x,y), data = path3, color = "darkgray") + geom_segment(aes(x=x,y=y,xend=xend,yend=yend), data = segment3) + theme( axis.text.x = element_blank(), axis.text.y = element_blank(), axis.ticks = element_blank() ) ``` Il modello statistico di regressione lineare assume che le distribuzioni condizionate $p(y \mid x_i)$ sono $$ y_i \sim \mathcal{N}(\mu_i, \sigma), $$ (assunzione di *normalità*), laddove $$ \mu_i = \mathbb{E}(y \mid x_i) = \alpha + \beta x_i. $$ L'equazione precedente descrive l'assunzione di *linearità*. Si noti che il parametro $\sigma$ non ha un pedice: questo significa che il modello ipotizza una dispersione costante delle distribuzioni $p(y \mid x_i), \forall i$. Tale assunzione va sotto il nome di *omoschedasticità*. Se questa è la struttura della popolazione, possiamo pensare ad un campione casuale di ampiezza $n$ come ad una serie di coppie $x_i, y_i$, con $i = 1, \dots, n$, nelle quali i valori $x$ sono fissi per disegno e ciascun valore $y_i$ è una realizzazione della variabile casuale $Y = y_i \mid X = x_i$. Questa è l'ultima assunzione del modello statistico lineare: l'*indipendenza*. In maniera equivalente possiamo dire che gli *errori* $\varepsilon_i = y_i - \hat{y}_i = y_i - (\beta_0 + \beta_1 x_i)$ sono variabili casuali distribuite secondo la legge Normale di parametri $\mathcal{N}(0, \sigma)$.                        ## Commenti e considerazioni finali {.unnumbered} Il modello di regressione lineare bivariato viene usato per descrivere la relazione lineare tra due variabili $x$ e $Y$, e per determinare il segno e l'intensità di tale relazione. Inoltre, il modello di regressione lineare consente di prevedere il valore della variabile dipendente $Y$ in base al valore assunto dalla variabile indipendente $x$.

25.1 La funzione lineare

25.2 Una media per ciascuna osservazione

25.3 Relazione lineare tra la media \(y \mid x\) e il predittore

25.4 Il modello lineare

Commenti e considerazioni finali