Appendix B — Numeri binari, interi, razionali, irrazionali e reali

B.1 Numeri binari

I numeri più semplici sono quelli binari, cioè zero o uno. Useremo spesso numeri binari per indicare se qualcosa è vero o falso, presente o assente. I numeri binari sono molto utili per ottenere facilmente delle statistiche riassuntive in $\mathsf{R}$.Supponiamo di chiedere a 10 studenti “Ti piacciono i mirtilli?” Poniamo che le risposte siano le seguenti:

Codice

opinion <- c(
  "Yes", "No", "Yes", "No", "Yes", "No", "Yes",
  "Yes", "Yes", "Yes"
)
opinion

 [1] "Yes" "No"  "Yes" "No"  "Yes" "No"  "Yes" "Yes" "Yes" "Yes"

Tali risposte possono essere ricodificate nei termini di valori di verità, ovvero, vero e falso, generalmente denotati rispettivamente come 1 e 0. In $\R$ tale ricodifica può essere effettuata mediante l’operatore == che è un test per l’uguaglianza e restituisce il valore logico VERO se i due oggetti valutati sono uguali e FALSO se non lo sono:

Codice

opinion <- opinion == "Yes"
opinion

 [1]  TRUE FALSE  TRUE FALSE  TRUE FALSE  TRUE  TRUE  TRUE  TRUE

R considera i valori di verità e i numeri binari in modo equivalente, con TRUE uguale a 1 e FALSE uguale a zero. Di conseguenza, possiamo effettuare operazioni algebriche sui valori logici VERO e FALSO. Nell’esempio, possiamo sommare i valori di verità e dividere per 10

Codice

sum(opinion) / length(opinion)

[1] 0.7

in modo tale da calcolare una propozione, il che ci consente di concludere che 7 risposte su 10 sono positive.

B.2 Numeri interi

Un numero intero è un numero senza decimali. Si dicono naturali i numeri che servono a contare, come 1, 2, … L’insieme dei numeri naturali si indica con il simbolo $\mathbb{N}$. È anche necessario introdurre i numeri con il segno per poter trattare grandezze negative. Si ottengono così l’insieme numerico dei numeri interi relativi: $\mathbb{Z} = \{0, \pm 1, \pm 2, \dots \}$

B.3 Numeri razionali

I numeri razionali sono i numeri frazionari $m/n$, dove $m, n \in N$, con $n \neq 0$. Si ottengono così i numeri razionali: $\mathbb{Q} = \{\frac{m}{n} \,\vert\, m, n \in \mathbb{Z}, n \neq 0\}$. È evidente che $\mathbb{N} \subseteq \mathbb{Z} \subseteq \mathbb{Q}$. Anche in questo caso è necessario poter trattare grandezze negative. I numeri razionali non negativi sono indicati con $\mathbb{Q^+} = \{q \in \mathbb{Q} \,\vert\, q \geq 0\}$.

B.4 Numeri irrazionali

Tuttavia, non tutti i punti di una retta $r$ possono essere rappresentati mediante i numeri interi e razionali. È dunque necessario introdurre un’altra classe di numeri. Si dicono irrazionali, e sono denotati con $\mathbb{R}$, i numeri che possono essere scritti come una frazione $a / b$, con $a$ e $b$ interi e $b$ diverso da 0. I numeri irrazionali sono i numeri illimitati e non periodici che quindi non possono essere espressi sotto forma di frazione. Per esempio, $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$ e ${\displaystyle \pi =3,141592\ldots}$ sono numeri irrazionali.

B.5 Numeri reali

I punti della retta $r$ sono quindi “di più” dei numeri razionali. Per poter rappresentare tutti i punti della retta abbiamo dunque bisogno dei numeri reali. I numeri reali possono essere positivi, negativi o nulli e comprendono, come casi particolari, i numeri interi, i numeri razionali e i numeri irrazionali. Spesso in statisticac il numero dei decimali indica il grado di precisione della misurazione.

B.6 Intervalli

Un intervallo si dice chiuso se gli estremi sono compresi nell’intervallo, aperto se gli estremi non sono compresi. Le caratteristiche degli intervalli sono riportate nella tabella seguente.

Intervallo
chiuso	$[a, b]$	$a \leq x \leq b$
aperto	$(a, b)$	$a < x < b$
chiuso a sinistra e aperto a destra	$[a, b)$	$a \leq x < b$
aperto a sinistra e chiuso a destra	$(a, b]$	$a < x \leq b$

# Numeri binari, interi, razionali, irrazionali e reali {#sec-appendix-numbers} ## Numeri binari I numeri più semplici sono quelli binari, cioè zero o uno. Useremo spesso numeri binari per indicare se qualcosa è vero o falso, presente o assente. I numeri binari sono molto utili per ottenere facilmente delle statistiche riassuntive in $\mathsf{R}$.Supponiamo di chiedere a 10 studenti "Ti piacciono i mirtilli?" Poniamo che le risposte siano le seguenti: ```{r} opinion <- c( "Yes", "No", "Yes", "No", "Yes", "No", "Yes", "Yes", "Yes", "Yes" ) opinion ``` Tali risposte possono essere ricodificate nei termini di valori di verità, ovvero, vero e falso, generalmente denotati rispettivamente come 1 e 0. In $\R$ tale ricodifica può essere effettuata mediante l'operatore `==` che è un test per l'uguaglianza e restituisce il valore logico VERO se i due oggetti valutati sono uguali e FALSO se non lo sono: ```{r} opinion <- opinion == "Yes" opinion ``` R considera i valori di verità e i numeri binari in modo equivalente, con TRUE uguale a 1 e FALSE uguale a zero. Di conseguenza, possiamo effettuare operazioni algebriche sui valori logici VERO e FALSO. Nell'esempio, possiamo sommare i valori di verità e dividere per 10 ```{r} sum(opinion) / length(opinion) ``` in modo tale da calcolare una propozione, il che ci consente di concludere che 7 risposte su 10 sono positive. ## Numeri interi Un numero intero è un numero senza decimali. Si dicono **naturali** i numeri che servono a contare, come 1, 2, ... L'insieme dei numeri naturali si indica con il simbolo $\mathbb{N}$. È anche necessario introdurre i numeri con il segno per poter trattare grandezze negative. Si ottengono così l'insieme numerico dei numeri interi relativi: $\mathbb{Z} = \{0, \pm 1, \pm 2, \dots \}$ ## Numeri razionali I numeri razionali sono i numeri frazionari $m/n$, dove $m, n \in N$, con $n \neq 0$. Si ottengono così i numeri razionali: $\mathbb{Q} = \{\frac{m}{n} \,\vert\, m, n \in \mathbb{Z}, n \neq 0\}$. È evidente che $\mathbb{N} \subseteq \mathbb{Z} \subseteq \mathbb{Q}$. Anche in questo caso è necessario poter trattare grandezze negative. I numeri razionali non negativi sono indicati con $\mathbb{Q^+} = \{q \in \mathbb{Q} \,\vert\, q \geq 0\}$. ## Numeri irrazionali Tuttavia, non tutti i punti di una retta $r$ possono essere rappresentati mediante i numeri interi e razionali. È dunque necessario introdurre un'altra classe di numeri. Si dicono *irrazionali*, e sono denotati con $\mathbb{R}$, i numeri che possono essere scritti come una frazione $a / b$, con $a$ e $b$ interi e $b$ diverso da 0. I numeri irrazionali sono i numeri illimitati e non periodici che quindi non possono essere espressi sotto forma di frazione. Per esempio, $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$ e ${\displaystyle \pi =3,141592\ldots}$ sono numeri irrazionali. ## Numeri reali I punti della retta $r$ sono quindi "di più" dei numeri razionali. Per poter rappresentare tutti i punti della retta abbiamo dunque bisogno dei numeri *reali*. I numeri reali possono essere positivi, negativi o nulli e comprendono, come casi particolari, i numeri interi, i numeri razionali e i numeri irrazionali. Spesso in statisticac il numero dei decimali indica il grado di precisione della misurazione. ## Intervalli Un intervallo si dice chiuso se gli estremi sono compresi nell'intervallo, aperto se gli estremi non sono compresi. Le caratteristiche degli intervalli sono riportate nella tabella seguente. | Intervallo | | | |:-----------------------------------:|----------|-------------------| | chiuso | $[a, b]$ | $a \leq x \leq b$ | | aperto | $(a, b)$ | $a < x < b$ | | chiuso a sinistra e aperto a destra | $[a, b)$ | $a \leq x < b$ | | aperto a sinistra e chiuso a destra | $(a, b]$ | $a < x \leq b$ |

Intervallo
chiuso	\([a, b]\)	\(a \leq x \leq b\)
aperto	\((a, b)\)	\(a < x < b\)
chiuso a sinistra e aperto a destra	\([a, b)\)	\(a \leq x < b\)
aperto a sinistra e chiuso a destra	\((a, b]\)	\(a < x \leq b\)