9.1. ✅ Caso Beta-Binomiale#
Exercise 9.1
Supponiamo di avere osservato 17 successi in 29 prove Bernoulliane. Si supponga di utilizzare una distibuzione a priori Beta di parametri alpha = 4 e beta = 17. Si calcoli la media della distribuzione a posteriori per il parametro theta (probabilità di successo).
Solution to Exercise 9.1
0.42
Exercise 9.2
Supponiamo di avere osservato 17 successi in 30 prove Bernoulliane. Si supponga di utilizzare una distibuzione a priori Beta di parametri alpha = 5 e beta = 13. Si calcoli la distribuzione a posteriori per il parametro theta (probabilità di successo). In tale distribuzione a posteriori, qual è il valore theta che lascia sotto di sé una probabilità pari a 0.4?
Solution to Exercise 9.2
0.4395
Exercise 9.3
Supponiamo di avere osservato 17 successi in 28 prove Bernoulliane. Si supponga di utilizzare una distibuzione a priori Beta di parametri alpha = 5 e beta = 19. Si calcoli la probabilità che, nella distribuzione a posteriori, theta (probabilità di successo) assuma un valore compreso nell’intervallo tra 0.5 e 0.75.
Solution to Exercise 9.3
0.1312
Exercise 9.4
Supponiamo di avere osservato 18 successi in 30 prove Bernoulliane. Si supponga di utilizzare una distibuzione a priori Beta di parametri alpha = 8 e beta = 20. Si calcoli la distribuzione a posteriori per il parametro theta (probabilità di successo). In tale distribuzione a posteriori, qual è il valore (theta_0) tale per cui (P(theta > theta_0 =) 0.7?
Solution to Exercise 9.4
0.5178
Exercise 9.5
Supponiamo di avere osservato 18 successi in 24 prove bernoulliane. Ipotizziamo una distribuzione a priori Beta(3, 9) per il parametro \(\theta\) (probabilità di successo). Si trovi la media della distribuzione a posteriori.
Solution to Exercise 9.5
y = 18
n = 24
alpha_prior = 3
beta_prior = 9
alpha = alpha_prior + y
beta = beta_prior + n - y
mean = alpha / (alpha + beta)
mean
0.5833333333333334
Exercise 9.6
Supponiamo di avere osservato 18 successi in 24 prove bernoulliane. Ipotizziamo una distribuzione a priori Beta(3, 9) per il parametro \(\theta\) (probabilità di successo). Si trovi la varianza della distribuzione a posteriori.
Solution to Exercise 9.6
y = 18
n = 24
alpha_prior = 3
beta_prior = 9
alpha = alpha_prior + y
beta = beta_prior + n - y
var = alpha * beta / ((alpha + beta) ** 2 * (alpha + beta + 1))
var
0.006569069069069069
Exercise 9.7
Supponiamo di avere osservato 18 successi in 24 prove bernoulliane. Ipotizziamo una distribuzione a priori Beta(3, 9) per il parametro \(\theta\) (probabilità di successo). Si trovi la probabilità che, nella distribuzione a posteriori, il parametro \(\theta\) (probabilità di successo) assuma un valore minore di 0.4.
Solution to Exercise 9.7
y = 18
n = 24
alpha_prior = 3
beta_prior = 9
alpha = alpha_prior + y
beta = beta_prior + n - y
st.beta.cdf(0.4, alpha, beta)
0.013257856051262343
Exercise 9.8
Supponiamo di avere osservato 18 successi in 24 prove bernoulliane. Ipotizziamo una distribuzione a priori Beta(3, 9) per il parametro \(\theta\) (probabilità di successo). Si trovi la probabilità che, nella distribuzione a posteriori, il parametro \(\theta\) (probabilità di successo) assuma un valore compreso tra 0.4 e 0.6.
Solution to Exercise 9.8
y = 18
n = 24
alpha_prior = 3
beta_prior = 9
alpha = alpha_prior + y
beta = beta_prior + n - y
st.beta.cdf(0.6, alpha, beta) - st.beta.cdf(0.4, alpha, beta)
0.5594962066370368
Exercise 9.9
Supponiamo di avere osservato 18 successi in 24 prove bernoulliane. Ipotizziamo una distribuzione a priori Beta(3, 9) per il parametro \(\theta\) (probabilità di successo). Si trovi la moda della distribuzione a posteriori del parametro \(\theta\) (probabilità di successo).
Solution to Exercise 9.9
y = 18
n = 24
alpha_prior = 3
beta_prior = 9
alpha = alpha_prior + y
beta = beta_prior + n - y
mo = (alpha - 1) / (alpha + beta - 2)
mo
0.5882352941176471