4.1. ✅ Variabili casuali discrete#
Exercise 4.1
Da un grande numero di dati relativi ad un compito di attenzione svolto da pazienti OCD si ottiene la seguente distribuzione di massa di probabilità, dove \(X\) è il tempo di completamento del compito:
x |
42 |
43 |
44 |
45 |
46 |
47 |
|---|---|---|---|---|---|---|
P(x) |
0.10 |
0.23 |
0.34 |
0.25 |
0.05 |
0.02 |
a. Si trovi il tempo medio di completamento del compito.
b. Si trovi la deviazione standard del tempo necessario per completare questo compito, in questa popolazione.
Solution to Exercise 4.1
a. 43.54
b. 1.2046
Exercise 4.2
Si consideri una roulette con il doppio 0: numeri da 1 a 36, metà rossi metà neri, 0 e doppio 0 verdi. Consideriamo la puntata su un numero.
a. Si trovi la distribuzione di massa di probabilità di \(X\).
b. Si trovi il valore atteso di \(X\).
c. Si trovi la deviazione standard di \(X\).
Solution to Exercise 4.2
a. -1 con probabilità 20/38; +1 con probabilità 18/38.
b. -0.0526.
c. 0.998614.
Exercise 4.3
Si consideri il gioco in cui, per ogni puntata di un euro, risultano i seguenti esiti possibili:
Outcome |
-1.00 |
0.00 |
3.00 |
5.00 |
|---|---|---|---|---|
Probability |
0.30 |
0.40 |
0.20 |
0.10 |
Sia X la v.c. corrispondente all’esito della puntata di un euro nel gioco definito sopra. Si calcoli la deviazione standard di X.
Solution to Exercise 4.3
import numpy as np
import pandas as pd
x = np.array([-1, 0, 3, 5])
px = np.array([0.3, 0.4, 0.2, 0.1])
ex = np.sum( x * px)
ex
np.sqrt(np.sum( x**2 * px) - ex**2)
La soluzione è 1.9899748742132397.
Exercise 4.4
Per la v.c. X = {1, 3, 5}, la distribuzione di probabilità è 1/4, 1/4, 1/2. Si calcoli la varianza di X.
Solution to Exercise 4.4
2.75
Exercise 4.5
Sia X la variabile aleatoria che può assumere i valori 0, 1, 2, 3, 4, 5. Qui sotto è fornita la distribuzione di probabilità della variabile aleatoria X (a meno di una delle probabilità che è mancante)
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|---|---|---|---|---|---|
?? |
0.45 |
0.24 |
0.12 |
0.09 |
0.05 |
Solution to Exercise 4.5
1.57
Exercise 4.6
Si calcoli la deviazione standard della variabile aleatoria corrispondende al numero di punti che si ottengono dal lancio di un dado equilibrato.
Solution to Exercise 4.6
1.707
Exercise 4.7
Una moneta onesta viene lanciata 3 volte. Sia X il numero di volte “testa”. Si calcoli il valore atteso di X.
Solution to Exercise 4.7
I valori possibili di X sono 0, 1, 2, 3, con probabilità, rispettivamente di 1/8, 3/8, 3/8, 1/8. Il valore atteso di X è 1.5.