8.1. ✅ Test sulla media della popolazione#
Exercise 8.1
Trova la regione di rifiuto (per la statistica test standardizzata) per ogni test di ipotesi. Identificare il test come a coda sinistra, a coda destra o a due code.
a. \(H_0\): \(\mu\) = 141 vs \(H_a\): \(\mu\) < 141; \(\alpha\) = 0.20
b. \(H_0\): \(\mu\) = -54 vs \(H_a\): \(\mu\) < -54; \(\alpha\) = 0.05
c. \(H_0\): \(\mu\) = 98.6 vs \(H_a\): \(\mu\) \(\neq\) 98.6; \(\alpha\) = 0.05
d. \(H_0\): \(\mu\) = 98.6 vs \(H_a\): \(\mu\) \(\neq\) 98.6; \(\alpha\) = 0.05
Solution to Exercise 8.1
a. \(Z\leq\) -0.84
b. \(Z\leq\) -1.645
c. \(Z\leq\) -1.96 oppure \(Z\geq\) 1.96
d. \(Z\geq\) 3.1
Exercise 8.2
Calcolare il valore della statistica del test per il test indicato, in base alle informazioni fornite.
a. \(H_0\): \(\mu\) = 72.2 vs \(H_a\): \(\mu\) > 72.2; \(\sigma\) sconosciuto; n = 55; \(\bar{x}\) = 75.1; s = 9.25
b. \(H_0\): \(\mu\) = 58 vs \(H_a\): \(\mu\) > 58; \(\sigma\) = 1.22; n = 40; \(\bar{x}\) = 58.5; s = 1.29
c. \(H_0\): \(\mu\) = -19.5 vs \(H_a\): \(\mu\) < -19.5; \(\sigma\) sconosciuto; n = 30; \(\bar{x}\) = -23.2; s = 9.55
d. \(H_0\): \(\mu\) = 805 vs \(H_a\): \(\mu\) \(\neq\) 805; \(\sigma\) = 37.5; n = 75; \(\bar{x}\) = 818; s = 36.2
Solution to Exercise 8.2
a. Z = 2.235
b. Z = 2.592
c. Z = −2.122
d. Z = 3.002
Exercise 8.3
Eseguire il test di ipotesi indicato, sulla base delle informazioni fornite.
a. Test \(H_0\): \(\mu\) = 212 vs \(H_a\): \(\mu\) < 212; \(\alpha\) = 0.10; \(\sigma\) \(\text{sconosciuto}\); n=36; \(\bar{x}\) = 211.2; s=2.2.
b. Test \(H_0\): \(\mu\) = -18 vs \(H_a\): \(\mu\) > -18; \(\alpha\) = 0.05; \(\sigma\) = 3.3; n = 44; \(\bar{x}\) = -17.2; s = 3.1
c. Test \(H_0\): \(\mu\) = 24 vs \(H_a\): \(\mu\) \(\neq\) 24; \(\alpha\) = 0.02; \(\sigma\) \(\text{sconosciuto}\); n=50; \(\bar{x}\) = 22.8; s = 1.9
Solution to Exercise 8.3
a. Z = -2.18; \(-z_{0.10}\) = -1.28; Rifiuto \(H_0\)
b. Z = 1.61; \(z_{0.05}\) = 1.645; Non rifiuto \(H_0\)
c. Z = -4.47; \(-z_{0.01}\) = -2.33; Rifiuto \(H_0\)
Exercise 8.4
Un campione di 50 Gli autori di un sistema di test psicologici computerizzati desiderano confrontare la velocità di un nuovo algoritmo per l’analisi dei dati con l’algoritmo attualmente implementato. Applicano il nuovo algoritmo a 50 problemi standard; ha una media di 8,16 secondi con deviazione standard di 0,17 secondi. L’attuale algoritmo ha una media di 8,21 secondi su tali problemi. Verifica, al livello di significatività dell’1%, l’ipotesi alternativa che il nuovo algoritmo abbia un tempo medio inferiore rispetto all’algoritmo attuale.
Solution to Exercise 8.4
Z = -2.08; \(-z_{0.01}\) = -2.33; Non rifiuto \(H_0\)
Exercise 8.5
Trova la regione di rifiuto (per la statistica test standardizzata) per ogni test di ipotesi. Identificare il test come a coda sinistra, a coda destra o a due code.
a. \(H_0\): \(\mu\) = 141 vs \(H_a\): \(\mu\) < 141; \(\alpha\) = 0.20
b. \(H_0\): \(\mu\) = -54 vs \(H_a\): \(\mu\) < -54; \(\alpha\) = 0.05
c. \(H_0\): \(\mu\) = 98.6 vs \(H_a\): \(\mu\) \(\neq\) 98.6; \(\alpha\) = 0.05
d. \(H_0\): \(\mu\) = 98.6 vs \(H_a\): \(\mu\) \(\neq\) 98.6; \(\alpha\) = 0.05
Solution to Exercise 8.5
a. \(Z\leq\) -0.84
b. \(Z\leq\) -1.645
c. \(Z\leq\) -1.96; or \(Z \geq\) 1.96
d. \(Z\geq\) 3.1
Exercise 8.6
Calcolare il valore della statistica del test per il test indicato, in base alle informazioni fornite.
a. \(H_0\): \(\mu\) = 72.2; vs \(H_a\): \(\mu\) > 72.2; \(\sigma\) sconosciuto; n = 55; \(\bar{x}\) = 75.1; s = 9.25
b. \(H_0\): \(\mu\) = 58; vs \(H_a\): \(\mu\) > 58; \(\sigma\) = 1.22; n = 40; \(\bar{x}\) = 58.5; s = 1.29
c. \(H_0\): \(\mu\) = -19.5; vs \(H_a\): \(\mu\) < -19.5; \(\sigma\) sconoscuiuto; n = 30; \(\bar{x}\) = -23.2; s = 9.55
d. \(H_0\): \(\mu\) = 805; vs \(H_a\): \(\mu\) \(\neq\) 805; \(\sigma\) = 37.5; n = 75; \(\bar{x}\) = 818; s = 36.2
Solution to Exercise 8.6
a. Z = 2.235
b. Z = 2.592
c. Z = −2.122
d. Z = 3.002
Exercise 8.7
Eseguire il test di ipotesi indicato, sulla base delle informazioni fornite.
a. Test \(H_0\): \(\mu\) = 212; vs \(H_a\): \(\mu\) < 212; \(\alpha\) = 0.10; \(\sigma\); \(\text{sconosciuto}\); n=36; \(\bar{x}\) = 211.2; s=2.2.
b. Test \(H_0\): \(\mu\) = -18; vs \(H_a\): \(\mu\) > -18; @; \(\alpha\) = 0.05; \(\sigma\) = 3.3; n = 44; \(\bar{x}\) = -17.2; s = 3.1
c. Test \(H_0\): \(\mu\) = 24; vs \(H_a\): \(\mu\) \(\neq\) 24; @; \(\alpha\) = 0.02; \(\sigma\) \(\text{sconosciuto}\); n=50; \(\bar{x}\) = 22.8; s = 1.9
Solution to Exercise 8.7
a. Z = -2.18; \(-z_{0.10}\) = -1.28; \(\text{reject}\) ; \(H_0\)
b. Z = 1.61; \(z_{0.05}\) = 1.645; \(\text{do not reject}\); \(H_0\)
c. Z = -4.47; \(-z_{0.01}\) = -2.33; \(\text{reject}\); \(H_0\)
Exercise 8.8
Gli autori di un sistema di algebra computerizzato desiderano confrontare la velocità di un nuovo algoritmo computazionale con l’algoritmo attualmente implementato. Applicano il nuovo algoritmo a 50 problemi standard; ha una media di 8,16 secondi con deviazione standard di 0,17 secondi. L’attuale algoritmo ha una media di 8,21 secondi su tali problemi. Verifica, al livello di significatività dell’1%, l’ipotesi alternativa che il nuovo algoritmo abbia
Solution to Exercise 8.8
Z = -2.08; \(-z_{0.01}\) = -2.33; \(\text{do not reject}\); \(H_0\)